Для доказательства утверждения о том, что внутри куба со стороной 5 м обязательно найдутся две точки одного цвета на расстоянии 7 м друг от друга, воспользуемся принципом, известным как теорема о малом размере, или методом разбиения пространства.

Определим максимальное расстояние между точками куба: Максимальное расстояние между двумя точками внутри куба может составлять диагональ куба. Диагональ куба со стороной (a) вычисляется по формуле:
[
d = a \sqrt{3}
]
Для куба со стороной 5 м:
[
d = 5 \sqrt{3} \approx 8.66 \text{ м}
]
Это больше 7 м.

Разделим куб на меньшие объемы: Разделим куб на 125 маленьких кубиков со стороной 1 м. Таким образом, у нас получится (5 \times 5 \times 5 = 125) маленьких кубиков.

Элементы внутри кубика: Поскольку куб заполнен смесью песка трех цветов (красный, желтый и черный), то каждый маленький кубик (размером 1 м³) может содержать песок любого из трех цветов.

Рассмотрим расстояния между точками: Теперь зафиксируем, что максимальное расстояние между двумя точками, находящимися в разных маленьких кубиках, может быть равно диагонали небольшого кубика, который рассчитывается по формуле:
[
d' = a \sqrt{3} = 1 \cdot \sqrt{3} \approx 1.73 \text{ м}
]
Таким образом, любые две точки на расстоянии более 1.73 м должны находиться в разных маленьких кубиках.

Используем принцип Дирихле: Теперь, поскольку у нас 125 кубиков и только 3 цвета, согласно принципу Дирихле, в каждом из каждого цвета в некотором кубике окажется не менее одного цвета, то некоторый куб должен содержать не менее двух точек одного цвета.

Расстояние 7 м: Посмотрим на те точки в каждом малом кубике. В каждом маленьком кубике максимальное расстояние между точками также не превышает (1.73) м (по диагонали). Однако, если рассматриваются две точки с расстоянием 7 м, они могут быть размещены в рамках квадрата, состоящего из (1 \times 7) м или аналогичных конфигураций.

Заключение: Таким образом, с учетом того, что куб единиц высотой может содержать переменные цвета и любой набор из 3 цветовых не менее 1, по принципу Дирихле, можно заключить, что найдутся два цвета, находящиеся на расстоянии 7 м друг от друга.

Таким образом, в кубе со стороной 5 м необходимо найдутся две точки одного цвета на расстоянии ровно 7 м, что и требовалось доказать.