В треугольнике ABC, где $AC=BC$ и угол $\angle BAC=36^{\circ }$, мы можем определить внутренние углы треугольника:

Поскольку треугольник равнобедренный $сравнымисторонамиACиBC$, углы $\angle ACB$ и $\angle ABC$ равны. Обозначим их как $x$.Сумма всех углов треугольника равна 180°:
$$\angle BAC+\angle ABC+\angle ACB=180^{\circ }$$ $$36^{\circ }+x+x=180^{\circ }$$ $$36^{\circ }+2x=180^{\circ }$$ $$2x=180^{\circ }-36^{\circ }$$ $$2x=144^{\circ }$$ $$x=\frac{144^{\circ }}{2}=72^{\circ }$$

Теперь мы знаем, что:

$\angle ABC=72^{\circ }$$\angle ACB=72^{\circ }$

Теперь, чтобы найти внешний угол при вершине C, используем следующее правило: внешний угол равен сумме двух внутренних несмежных углов. В нашем случае это углы $\angle BAC$ и $\angle ABC$:
$$\text{Внешний угол}=\angle BAC+\angle ABC=36^{\circ }+72^{\circ }=108^{\circ }$$

Таким образом, внешний угол при вершине C равен $108^{\circ }$.