Закон Кеплера о периоде обращения планеты, который гласит, что квадрат периода обращения ( T ) пропорционален кубу средней дистанции ( a ) от планеты до светила (например, Солнца), можно математически записать как:

[
T^2 \propto a^3
]

Это означает, что:

[
T^2 = k a^3
]

где ( k ) — это константа, зависящая от массы центрального тела и гравитационной постоянной.

Ньютоновская механика:
Закон Кеплера вытекает из закона всемирного тяготения Ньютона, который описывает силу притяжения между двумя массами:

[
F = G \cdot \frac{M m}{r^2}
]

где ( G ) — гравитационная постоянная, ( M ) — масса центрального тела, ( m ) — масса планеты, а ( r ) — расстояние между ними. Для планеты, движущейся по окружности с радиусом ( a ), центростремительная сила будет равна:

[
F = \frac{m v^2}{a}
]

Приравнивая центростремительную силу к силе тяготения, получаем:

[
\frac{m v^2}{a} = G \cdot \frac{M m}{a^2}
]

После сокращения ( m ) и нахождения ( v ) имеем:

[
v^2 = \frac{G M}{a}
]

Период обращении:
Скорость ( v ) связана с периодом ( T ) следующим образом:

[
v = \frac{2 \pi a}{T}
]

Подставив выражение скорости в уравнение, получаем:

[
\left(\frac{2 \pi a}{T}\right)^2 = \frac{G M}{a}
]

Упрощая это уравнение, получаем:

[
T^2 = \frac{4 \pi^2 a^3}{G M}
]

При этом анализе используются следующие приближения и предположения:

Ненасыщенная масса: Мы предполагаем, что масса планеты ( m ) намного меньше массы центрального тела ( M ), так что влияние планеты на движение центрального тела пренебрежимо мало.

Круговая орбита: Мы предполагаем, что орбита планеты является почти круговой. В случае эллиптических орбит справедливо более общее обобщение второго закона Кеплера.

Точечные массы: Мы рассматриваем планету и звездное тело как точечные массы, что игнорирует возможные эффекты больших размеров объектов.

Таким образом, закон Кеплера о периоде обращения планеты является следствием законов Ньютона и предполагает, что орбиты планет практически круговые и массы объектов соизмеримы.