Когда мы говорим о маятнике, обычно используем приближенную формулу для периода малых колебаний:

[ T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} ]

где ( T ) — период, ( l ) — длина маятника, а ( g ) — ускорение свободного падения. Однако эта формула верна только для малых углов отклонения (менее 15-20 градусов). При больших углах амплитуда начинает влиять на период колебаний, и необходимо использовать более сложные уравнения.

Для маятника с большими углами отклонения период можно выразить через интеграл:

[ T = 4\sqrt{\frac{l}{g}} K(k) ]

где ( K(k) ) — полный эллиптический интеграл второго рода, а ( k = \sin\left(\frac{\theta_0}{2}\right) ), где ( \theta_0 ) — максимальный угол отклонения.

Для малых углов ( k ) можно аппроксимировать, и период можно представить как:

[ T(\theta_0) \approx 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} \left( 1 + \frac{1}{16}\theta_0^2 + \frac{11}{3072}\theta_0^4 + \dots \right) ]

здесь углы выражаются в радианах, и дополнительные члены учитывают влияние большего отклонения.

Таким образом, чтобы модифицировать формулы для точного описания периода маятника при больших углах, необходимо использовать эллиптические интегралы или разложение в ряд с учетом поправок на амплитуду.