Классическая модель — два одинаковых малых маятника $массыm,длинаl,малыеуглы$ связаны пружиной жёсткостью K, растянувшейся при относительном смещении горизонтальных проекций x1, x2. Обозначим ω0 = sqrt$g/l$ — собственная частота одного свободного маятника $безсвязи$. В линейной приближённой записи $x\approx l\cdot \theta$ уравнения движения:

m ẍ1 + m ω0^2 x1 + K $x1-x2$ = 0,
m ẍ2 + m ω0^2 x2 + K $x2-x1$ = 0.

1) Нормальные моды

Синфазная $in‑phase$: x1 = x2. В этой моде пружина не растягивается, её сила = 0, поэтому частота равна собственной:
ω+ = ω0.Антифазная $out‑of‑phase$: x1 = −x2. В этой моде пружина максимальна и увеличивает жёсткость системы, частота
ω− = sqrt$\omega 0^2+2K/m$.

Нормальные координаты можно взять q+ = x1 + x2 $синфазная$ и q− = x1 − x2 $антифазная$; в них уравнения развязываются.

2) Поведение при возбуждении одного маятника
Возьмём начальные условия: x1$0$ = A, x2$0$ = 0, скорости нулевые. Решение $суперпозициямод$:
x1$t$ = $A/2$$$cos(\omega +t)+cos(\omega -t)$$,
x2$t$ = $A/2$$$cos(\omega +t)-cos(\omega -t)$$.

Используя тригонометрию, это даёт «биты» $beats$: медленная модуляция амплитуд с частотой Δω = ω− − ω+ поверх быстрого несущего $\approx (\omega -+\omega +)/2$. Полный перенос энергии от одного маятника ко второму $максимумэнергиивовторомприминимумевпервом$ происходит через время
t_transfer = π/Δω.
Через время 2·t_transfer система возвращается в исходное распределение $энергияобратновпервый$. Чем слабее связь $малK$, тем меньше Δω и тем дольше длится перенос $медленныебиты$.

3) Энергия
Полная энергия = кинетическая + потенциальная от гравитации + энергия пружины. В отсутствии затухания энергия остаётся постоянной, она периодически переходит от первого тела ко второму и обратно $комплетныйобменприначальномвозбуждениитолькоодногомаятника$. В нормальных координатах энергия представляется как сумма энергий двух независимых мод.

4) Влияние затухания
Добавим вязкое затухание $коэффициентb,илиэквивалентныйдемпфинг2\beta с\beta =b/(2m)$. В уравнениях появляются члены 2β ẋ1, 2β ẋ2. В случае одинакового равномерного демпфинга моды также развязываются: каждая мода колеблется с собственной частотой ωi' ≈ sqrt$\omega i^2-{\beta }^2$ и экспоненциально убывает ∝ e^{−β t}. Тогда:

амплитуды мод убывают, и энергия мод ~ e^{−2β t};перенос энергии $биения$ сохраняется, если демпфинг слабый по сравнению с разностью частот: β << Δω. Тогда за несколько циклов происходит полный перенос до заметного затухания.если β ≳ Δω, биения сильно затушёвываются и энергия рассеивается до того, как произойдёт полный обмен; видимый перенос ослаблен или отсутствует.если демпфинг разный для разных мод $например,затуханиесосредоточеновпружине$, то одна мода может затухать быстрее, и в установившемся $переходном$ состоянии энергия будет в основном сосредоточена в менее затухаемой моде $т.е.поведениевдолгосрочномпределеопределяетсядоминирующеймедленноймодой$.

Короткие выводы

Система имеет две нормальные моды: синфазную $\omega +$ и антифазную (ω− > ω+).Одноточечное начальное возбуждение разворачивается как суперпозиция мод и вызывает периодический перенос энергии между маятниками $биения$ с характерным временем t_transfer = π/$\omega --\omega +$.Затухание не меняет наличие мод, но уменьшает амплитуды и, если достаточно велико, подавляет наблюдаемый перенос энергии; при одинаковом слабом демпфинге оба режима убывают одинаково $энергияуходитэкспоненциально$, при несимметричном — доминирует менее затухаемая мода.