Правильное применение закона Фарадея для движущегося контура в пространственно неравномерном магнитном поле требует учёта как электрического поля, порождённого изменением потока, так и силы Лоренца на заряды в движущемся проводнике. Ключевые формулы и пояснения:
1) Локальная (дифференциальная) форма:
$\nabla \times \mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$.
Она даёт поле $\mathbf{E}(\mathbf{r},t)$, возникающее при изменении $\mathbf{B}$. Это поле существует в пространстве независимо от наличия проводника.
2) Обобщённая интегральная форма для движущейся замкнутой кривой $\Gamma (t)$ (скорость каждого элемента контура $\mathbf{v}$):
$${\oint }_{\Gamma (t)}(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times \mathbf{B})\cdot d\mathbf{l}=-\frac{d}{dt}{\int }_{S(t)}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{S},$$ где $S(t)$ — любая поверхность, ограниченная $\Gamma (t)$. Левая часть — ЭДС, действующая на заряды (линейный интеграл силы на единицу заряда).
3) Разложение производной потока (теорема Рейнольдса) для движущейся границы:
$$\frac{d}{dt}{\int }_{S(t)}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{S}={\int }_{S(t)}\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\cdot d\mathbf{S}-{\oint }_{\Gamma (t)}(\mathbf{v}\times \mathbf{B})\cdot d\mathbf{l}.$$ Подставляя в обобщённую форму, получаем тождество
${\oint }_{\Gamma }\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}=-{\int }_S\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\cdot d\mathbf{S}$,
то есть интеграл $\mathbf{E}$ определяется только $\partial \mathbf{B}/\partial t$ по фиксированной мгновенной конфигурации, а вклад движения содержится в $\oint (\mathbf{v}\times \mathbf{B})\cdot d\mathbf{l}$.
4) Физическая разница между «индуцированной» (трансформаторной) и «мотионной» ЭДС:
- «Индуцированная» (трансформаторная) ЭДС: обусловлена нероторным электрическим полем, порождённым временной изменчивостью магнитного поля. Её величина связана с циркуляцией $\mathbf{E}$:
$${\epsilon }_{\mathrm{transf}}={\oint }_{\Gamma }\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}=-{\int }_S\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\cdot d\mathbf{S}.$$ Это поле присутствует в вакууме; оно действует на заряды даже когда проводник покоится.
- «Мотионная» ЭДС: обусловлена магнитной частью силы Лоренца $\mathbf{F}=q(\mathbf{v}\times \mathbf{B})$ на носители заряда, когда проводник движется через поле. Величина:
$${\epsilon }_{\mathrm{mot}}={\oint }_{\Gamma }(\mathbf{v}\times \mathbf{B})\cdot d\mathbf{l},$$ часто на практике вычисляется по проводнику (например, для стержня длины $L$, движущегося со скоростью $v$ перпендикулярно $\mathbf{B}$: ${\epsilon }_{\mathrm{mot}}=vBL$ при однородном поле).
5) Важные замечания:
- Полная ЭДС, которая определяет работу на единицу заряда вокруг замкнутого контура, равна сумме вкладов: ${\epsilon }_{\mathrm{tot}}=\oint (\mathbf{E}+\mathbf{v}\times \mathbf{B})\cdot d\mathbf{l}$ и связана с полной скоростью границы через изменение потока по формуле в п.2.
- В неравномерном $\mathbf{B}(\mathbf{r})$ мотионная ЭДС зависит от распределения поля вдоль проводника; даже при постоянном потоке через некоторую поверхность мотионная ЭДС может быть ненулевой.
- В системе, где проводник локально покоится, мотионная ЭДС проявляется как электростатическое поле (через преобразование Лоренца): в разных системах описание меняется, но измеримая разность потенциалов согласуется.
Кратко: используйте обобщённую интегральную формулу $\oint (\mathbf{E}+\mathbf{v}\times \mathbf{B})\cdot d\mathbf{l}=-\frac{d}{dt}{\int }_S\mathbf{B}\cdot d\mathbf{S}$; разложение потока даёт явную отделённость трансформаторного вклада $-{\int }_S\partial \mathbf{B}/\partial t\cdot d\mathbf{S}$ и мотионного $\oint (\mathbf{v}\times \mathbf{B})\cdot d\mathbf{l}$.