Кратко и строго.
1) Вывод мод (основные шаги)
- Берём уравнения Максвелла в однородном заполнителе (параметры $ϵ,\mu$), предполагаем продольную зависимость $\exp (-j\beta z)$. При этом поперечные компоненты удовлетворяют уравнению Гельмгольца
$${\nabla }_t^2\Psi +k_c^2\Psi =0,k^2={\omega }^2\mu ϵ,k_c^2=k^2-{\beta }^2,$$ где $\Psi$ — искомая проекция поля ($E_z$ для TM, $H_z$ для TE).
- Для прямоугольного сечения $0<x<a,0<y<b$ с идеальными проводящими стенками (PEC) собственные функции и собственные значения:
$${\Psi }_{mn}(x,y)\propto \{\begin{array}{ll}\cos \frac{m\pi x}{a}\cos \frac{n\pi y}{b},& \text{(TE для соответствующих индексов)}\\ \sin \frac{m\pi x}{a}\sin \frac{n\pi y}{b},& \text{(TM)}\end{array}$$ и
$$k_{c,mn}^2=(\frac{m\pi }{a}{)}^2+(\frac{n\pi }{b}{)}^2,m,n=0,1,2,\dots$$ (для TE допускается $m=0$ или $n=0$ с соответствующими формами).
- Продольная постоянная:
$$\beta =\sqrt{k^2-k_{c,mn}^2}.$$
2) Пороговые частоты и их зависимость
- Пороговое (отсечное) значение для режима $(m,n)$:
$${\omega }_{c,mn}=k_{c,mn}/\sqrt{\mu ϵ},f_{c,mn}=\frac{{\omega }_{c,mn}}{2\pi }=\frac{c}{2\sqrt{{ϵ}_r}}\sqrt{(\frac{m}{a}{)}^2+(\frac{n}{b}{)}^2},$$ где $c$ — скорость света в вакууме, ${ϵ}_r=ϵ/{ϵ}_0$. Для чаще используемого режима TE${}_{10}$ при $a>b$:
$$f_{c,10}=\frac{c}{2a\sqrt{{ϵ}_r}}.$$ - Следствие: пороговые частоты определяются только геометрией сечения и диэлектрической проницаемостью заполнителя; обратная зависимость от размеров: увеличение $a$ снижает $f_c$.
3) Дисперсия и скорости
- Дисперсионное соотношение для рабочего режима:
$$\beta =k\sqrt{1-(\frac{k_{c,mn}}{k}{)}^2}=k\sqrt{1-(\frac{f_{c,mn}}{f}{)}^2}.$$ - Фазовая и групповая скорости (без потерь):
$$v_p=\frac{\omega }{\beta }=\frac{c}{\sqrt{{ϵ}_r}}\frac{1}{\sqrt{1-(f_c/f{)}^2}},v_g=\frac{d\omega }{d\beta }=\frac{c}{\sqrt{{ϵ}_r}}\sqrt{1-(f_c/f{)}^2},$$ и $v_p{v}_g=(c/\sqrt{{ϵ}_r}{)}^2$. При $f\to f_c^{+}$ $\beta \to 0$, $v_p\to \infty$, $v_g\to 0$.
4) Влияние материала стенок
- Идеальные ПРОВОДНИКИ дают приведённые выше $f_c$. Для конечной проводимости сдвиг порога мал, но вводится затухание и комплексная $\beta$.
- Поверхностное сопротивление:
$$R_s=\sqrt{\frac{\omega \mu }{2\sigma }}$$ (классическая кожная глубина). При высоких частотах и хороших металлах $\delta \ll$ размеры, и основной эффект — потери на стенках.
5) Затухание — общие формулы и масштабирование
- Общая формула для вкладa потерь в стенках:
$${\alpha }_c=\frac{R_s}{2}\frac{{\int }_{\text{стенки}}|H_t{|}^{2}dl}{\Re \left\{{\iint }_S(\mathbf{E}\times {\mathbf{H}}^{\ast })\cdot \hat{z}dS\right\}},$$ где числитель — мощность, рассеиваемая по длине, знаменатель — передаваемая мощность.
- Для диэлектрических потерь (с $ϵ={ϵ}^{\prime }-j{ϵ}^{\prime \prime }$):
$${\alpha }_d=\frac{\omega {ϵ}^{\prime \prime }}{2\beta }\frac{{\iint }_S|E{|}^{2}dS}{\Re \{{\iint }_S(\mathbf{E}\times {\mathbf{H}}^{\ast })\cdot \hat{z}dS\}}\propto \tan \delta .$$ - Масштабирование: $R_s\propto \sqrt{\omega }$ ⇒ проводные потери обычно растут как ${\alpha }_c\propto \sqrt{\omega }$ (плюс фактор $1/\beta$, который растёт при приближении к отсечке). Диэлектрические потери $\propto \tan \delta$ и обычно сильнее выражены при наличии полимеров/стёкол.
6) Механизмы потерь на миллиметровых и субмиллиметровых длинах волн
- Омические потери в металле (поверхностный ток): доминируют для обычных металлов; увеличиваются с частотой через $R_s$.
- Поверхностная шероховатость и неоднородности площадки: усиливают затухание, особенно когда глубина шероховатости сравнима с кожной глубиной.
- Аномальный кожный эффект и нечистоты: при очень коротких длинах волн (и низких температурах) средний путь электронов становится сравним с $\delta$ — классический $R_s$ корректируется.
- Оксидные / диэлектрические слои на стенках: добавляют диэлектрические потери и рассеяние.
- Рассеяние и излучение на стыках, неровностях, углах и отверстиях; утечки в плохо сопряжённых соединениях; в сильно переломанных/многоотверстных линиях — радиационные потери.
- Потери в объёме диэлектрика (если заполнение не вакуум): тангенс потерь $\tan \delta$, поглощение из-за водяных паров/полярных молекул в подмм диапазоне.
- Модовые перекрёстные и конвертируемые потери: в широкополосных/overmoded волноводах возможна передача энергии в паразитные моды и последующее рассеяние.
- При суб-миллиметровых частотах важны квантово-механические и поверхностные эффекты проводника, а также точность механической обработки (требуется наношероховатость).
7) Следствия для практики
- Для минимизации потерь на мм/суб‑мм: использовать сверхпроводящую облицовку или высококачественное серебрение, уменьшать число стыков и резких переходов, применять гладкие поверхности, применять диэлектрические волноводы/оптические системы (квазиизоптическая передача) или волоконные/полые волоконные решения для THz.
- Пороговые частоты управляются размерами и диэлектриком — если нужно уменьшить $f_c$, увеличивают $a$ или вводят диэлектрик с большей ${ϵ}_r$.
Краткое резюме: моды получают как собственные решения поперечного Гельмгольца; $f_c$ определяется геометрией и ${ϵ}_r$; дисперсия даёт $\beta =k\sqrt{1-(f_c/f{)}^2}$, $v_p$ и $v_g$ как выше; материалы стенок в основном влияют на затухание (через $R_s$, шероховатость, аномальный эффект), а на миллиметровых и субмиллиметровых волнах основные потери — омические (усиленные шероховатостью и аномальным эффектом), диэлектрические и рассеяние на несовершенствах.