Кратко и по существу.
Что такое SQL и предел Гейзенберга
- SQL (standard quantum limit, «интерференционный/шот-ноиз лимит») — поведение независимых (незапутанных) одинаковых проб. Для $\nu$ повторов и $N$ ресурсов (фотонов/частиц) оценка фазы даёт масштаб неопределённости
$$\Delta \theta \gtrsim \frac{1}{\sqrt{\nu N}}\text{(в особом случае одного замера:}\Delta \theta \sim 1/\sqrt{N}\text{)}.$$ SQL вытекает из аддитивности дисперсий при независимых сэмплах (shot noise).
- Предел Гейзенберга — максимально возможная масштабируемая точность при использовании квантовой корреляции/запутанности:
$$\Delta \theta \gtrsim \frac{1}{\nu N}\text{(обычно записывают как}\Delta \theta \sim 1/N\text{для одного замера).}$$ Его достижение требует сильно запутанных состояний (напр., GHZ/NOON), дающих QFI порядка $N^2$.
Формулировка через (квантовый) неравенство Крамера–Рао
$$\mathrm{Var}(\hat{\theta })\ge \frac{1}{\nu F(\theta )},\mathrm{Var}(\hat{\theta })\ge \frac{1}{\nu F_Q},$$ где $F$ — классическая информация Фишера для данного измерения, $F_Q$ — квантовая информация Фишера. Для не запутанного набора $F_Q\propto N$ (SQL), для идеального макроскопически запутанного — $F_Q\propto N^2$ (Гейзенберг).
Как запутанность и квантовая метроло­гия повышают чувствительность
- Запутанные состояния (NOON, GHZ, максимально спин-сквизированные) увеличивают QFI до порядка $N^2$, что даёт теоретическое улучшение от $1/\sqrt{N}$ до $1/N$.
- Сжатые состояния (optical/ spin squeezing) уменьшают флуктуации в измеряемой квадратуре и дают выигрыш по отношению к SQL; типично
$$\Delta \theta \sim \frac{e^{-r}}{\sqrt{N}},$$ где $r$ — параметр сжатия. Это практично (реализовано, например, в LIGO и в атомных часах).
- Квантовые стратегии (адаптивные измерения, байесовские процедуры, оптимальные POVM, коллективные измерения) позволяют превратить увеличенный $F_Q$ в лучшую оценку и приближаться к границе квантового Cramér–Rao.
Практические ограничения, препятствующие достижению теоретических пределов
- Потери (losses). Для литературы обычно вводят коэффициент передачи $\eta$. Для состояний типа NOON вероятность «выживания» всех $N$ частиц масштабируется как ${\eta }^N$ — экспоненциальная уязвимость. В результате при $\eta <1$ асимптотическое преимущество Гейзенберга исчезает: масштаб возвращается к SQL-подобному, максимум — константное улучшение префактора.
- Декогеренция и дефазировка. Независимый шум на каждой частице (локальная дефазировка с интенсивностью $\gamma$) разрушает межчастичную когерентность; квантовая информация Фишера быстро падает и асимптотически восстанавливает скейлинг $1/\sqrt{N}$.
- Термальный шум, флуктуации амплитуды, технический шум (интенсивность источника, детекторы) приводят к тому, что реальный эффективный ресурс меньше номинального $N$.
- Неидеальные детекторы и конечная эффективность регистрации: потеря детекторов, тёмные счёты, ограниченная динамика снижают реальную QFI.
- Ограниченное приготовление состояний: создание больших GHZ/NOON трудно; шум в подготовке уже ухудшает выигрыш.
- Ограничения времени: длительные измерения увеличивают накопление декогеренции; часто лучший режим — многократные короткие повторения, но тогда суммарное преимущество ограничено.
Ключевые теоремы/результаты (вкратце)
- При любом ненулевом уровне независимых потерь/дефазировки в асимптотике $N\to \infty$ нельзя сохранять чистый Гейзенбергский скейлинг; оптимальное асимптотическое поведение возвращается к SQL-подобному с улучшенным константным множителем (Demkowicz-Dobrzański и соавт.).
- Для конечного $N$ и малых потерь возможно заметное улучшение над SQL (практически полезно).
Практические стратегии повышения устойчивости и приближения к пределам
- Использовать сжатие (squeezing) вместо сильно макроскопической запутанности — более устойчиво к потерям и уже даёт ощутимый выигрыш (реальные приборы: LIGO, атомные часы).
- Выбирать устойчивые к потерям классы состояний (twin-Fock, оптимальные смешанные состояния), оптимизировать по модели шума.
- Квантовая коррекция ошибок и кодирование метрической информации в защищённые подпространства / декогеренционные субпространства.
- Адаптивные/байесовские алгоритмы оценки и фильтрация событий, post-selection (с учётом ценности ресурсов).
- Техническое улучшение: повышение $\eta$, улучшение детекторов, охлаждение, стабилизация источников и т.д.
Короткий итог
- SQL: $\Delta \theta \sim 1/\sqrt{N}$; Гейзенберг: $\Delta \theta \sim 1/N$.
- Запутанность и квантовая метроло­гия теоретически позволяют перейти от SQL к Гейзенбергу (QFI от $O(N)$ до $O(N^2)$), но реальные потери, декогеренция и технический шум сильно ограничивают достижимый выигрыш — в большинстве практических сценариев асимптотический скейлинг возвращается к SQL с возможным улучшением константы; выгодно использовать устойчивые схемы (сквишинг, адаптивность, коррекция ошибок).