Уравнение движения заряженной частицы в релятивистской форме (ковариантно, через четырёхвекторы) записывается как
$$\frac{d{p}^{\mu }}{d\tau }=q{F}^{\mu }{}_{\nu }{u}^{\nu },$$ где $p^{\mu }$ — четырёхимпульс, $\tau$ — собственное время, $q$ — заряд, $F^{\mu \nu }$ — антисимметричный тензор электромагнитного поля, $u^{\nu }$ — четырёхскорость.
Если масса частицы постоянна ($m$ — массa покоя), то $p^{\mu }=m{u}^{\mu }$ и уравнение можно записать в виде
$$m\frac{d{u}^{\mu }}{d\tau }=q{F}^{\mu }{}_{\nu }{u}^{\nu }.$$
Нормировка четырёхскорости (при метрике $+,-,-,-$):
$$u^{\mu }{u}_{\mu }=c^2,$$ а в единицах $c=1$ — $u^{\mu }{u}_{\mu }=1$. Четырёхскорость связана с трёхскоростью $\mathbf{v}$ через
$$u^{\mu }=\gamma (c,\mathbf{v}),\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}.$$
Компонентно это даёт (связывая с привычными трёхвекторными уравнениями)
$$\frac{d\mathbf{p}}{dt}=q(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times \mathbf{B}),\frac{d\mathcal{E}}{dt}=q\mathbf{E}\cdot \mathbf{v},$$ где $\mathbf{p}=\gamma m\mathbf{v}$, $\mathcal{E}=\gamma m{c}^2$.
Тензор поля имеет компоненты (в стандартном представлении, метрика $+,-,-,-$):
$$F^{0i}=E^i,F^{ij}=-{ϵ}^{ijk}{B}^k,$$ и $F^{\mu \nu }=-F^{\nu \mu }$.