Кратко: частичное «наблюдение» создаёт частичную запутанность электрона с детектором, что уменьшает когерентность и, как следствие, контраст интерференционных полос. При вероятности регистрации $p$ видимость интерференции уменьшается непрерывно и при $p=1$ интерференции нет, при $p=0$ — полная интерференция.
Простейшая модель (электрон в равной суперпозиции щелей, детектор реагирует только на левую щель):
$$|{\Psi }_0⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|L⟩+|R⟩)\otimes |0{⟩}_D$$ взаимодействие даёт единичный переход
$$|L⟩|0{⟩}_D\to |L⟩(\sqrt{p}|D⟩+\sqrt{1-p}|0{⟩}_D),|R⟩|0{⟩}_D\to |R⟩|0{⟩}_D.$$ Итоговое состояние:
$$|\Psi ⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|R⟩|0{⟩}_D+|L⟩(\sqrt{p}|D⟩+\sqrt{1-p}|0{⟩}_D)).$$
Если не фиксировать состояние детектора (трассировать его), когерентность между путями подавляется на величину перекрытия состояний детектора $⟨0|(\sqrt{p}|D⟩+\sqrt{1-p}|0⟩)=\sqrt{1-p}$. Вероятность обнаружения электрона в точке $x$ на экране:
$$P(x)=\frac{1}{2}(|{\psi }_L(x){|}^2+|{\psi }_R(x){|}^2)+\mathrm{Re}\{{\psi }_L^{\ast }(x){\psi }_R(x)\}\sqrt{1-p},$$ то есть интерференционный член умножается на фактор $\sqrt{1-p}$. Видимость полос определяется как
$$V=\sqrt{1-p}.$$
Условия на исходы детектора:
- Если детектор сработал (клик): известен путь — интерференция для этих событий отсутствует (поражает «частичный» однощелевой профиль).
- Если детектор не сработал (no-click) и вы пост-селектируете такие события, состояние электрона остаётся когерентным, но с изменённой амплитудой левой щели $|R⟩+\sqrt{1-p}|L⟩$, давая уменьшенный и в общем сдвинутый интерференционный рисунок.
Связь с общей формулой различимости/видимости (Englert):
$$V^2+D^2\le 1,$$ в этой модели $V=\sqrt{1-p}$, различимость путей $D=\sqrt{p}$, и получается равенство $V^2+D^2=1$.
Физический смысл: даже «слабый» детектор частично добывает информацию о пути и тем самым частично разрушает фазовую когерентность (декогерирует), что проявляется как постепенное исчезновение интерференционных полос с ростом вероятности регистрации $p$.