Описание эксперимента (кратко)
- Поместить тонкую плёнку масла на поверхность воды в чашке; осветить плёнку монохроматическим светом под контролируемым углом падения $\theta$ (лазор/светодиод + монохроматор или натрий‑лампа). Наблюдать отражённый свет (или пропущенный) — появятся интерференционные полосы (цветные при белом свете, светлые/тёмные при монохроме). Записать расположение полос (фото/камера) и угол падения.
Физика интерференции (существенные величины)
- Две основные волны: отражённая от верхней грани (воздух/масло) и от нижней грани (масло/вода). Пути и фазы задают интерференцию.
- Геометрическая разность хода в плёнке при угле в воздухе $\theta$ и угле в плёнке ${\theta }_t$:
$${\Delta }_{\text{ход}}=2nt\cos {\theta }_t,$$ где $t$ — толщина плёнки, $n$ — показатель преломления масла.
- Связь углов (Закон Снеллиуса):
$$n_0\sin \theta =n\sin {\theta }_t,$$ обычно $n_0\approx 1$ (воздух), поэтому
$$\cos {\theta }_t=\sqrt{1-{\left(\frac{n_0\sin \theta }{n}\right)}^2}.$$ - Дополнительная фазовая разность от отражений: при отражении от более оптически плотной среды происходит сдвиг фазы $\pi$ (фактор 1/2 волны). Обе границы могут давать 0 или $\pi$ суммарно; для практики важны два случая:
- если суммарный сдвиг равен $\pi$ (т.е. лишь одна инверсия) — условие максимумов в отражённом свете:
$$2nt\cos {\theta }_t=\left(m+\frac{1}{2}\right)\lambda ,$$ - если суммарный сдвиг равен $0$ — условие максимумов:
$$2nt\cos {\theta }_t=m\lambda ,$$ где $m\in \mathbb{Z}$ — порядок интерференции, $\lambda$ — длина волны в вакууме.
Интенсивность (упрощённо)
- Интенсивность суммарного отражённого поля:
$$I=I_1+I_2+2\sqrt{I_1{I}_2}\cos \delta ,\delta =\frac{2\pi }{\lambda }(2nt\cos {\theta }_t)+{\phi }_{\mathrm{refl}},$$ где ${\phi }_{\mathrm{refl}}=0$ или $\pi$ — вклад отражений; это позволяет моделировать контраст и форму полос при любом угле и толщине.
Обратная задача — как восстановить толщину $t$ 1. Простейший случай — известны $n$, $\lambda$, наблюдаем полосы при фиксированном $\theta$ (часто $\theta =0$):
- Из порядка $m$ для отражённого максимума/минимума вычисляем
$$t=\frac{(m+\beta )\lambda }{2n\cos {\theta }_t},$$ где $\beta =0$ при нулевом суммарном сдвиге отражений и $\beta =\frac{1}{2}$ при одном сдвиге $\pi$.
- Для нормального падения ($\theta =0$): $\cos {\theta }_t=1$, поэтому
$$t=\frac{(m+\beta )\lambda }{2n}.$$ - Замечание: порядок $m$ может быть неочевиден (целая неоднозначность). Для получения абсолютной толщины используют край с известным нулевым $t$ (например край стекла) или дополнительные измерения.
2. Если $n$ неизвестен — требуется дополнительные измерения:
- Измерения при двух длинах волны ${\lambda }_1,{\lambda }_2$ дают две формулы на одни и те же $t,n$ (дискретная неоднозначность решается по изменению порядка).
- Или измерять зависимость положения/контраста полос при разном угле $\theta$ и подогнать экспериментальную зависимость $I(\theta )$ на основе полной формулы с коэффициентами Френеля (численная оптимизация по параметрам $n,t$).
3. Математическая схема обратной задачи (практически):
- Собрать данные: $I(x,y)$ или позиции полос в функции $\theta$ и $\lambda$.
- Выбрать модель (интенсивность через Френеля + фазу $\delta$).
- Выполнить параметрическую подгонку (например, НМНК или нелинейная оптимизация) по параметрам $t$ (и $n$, если необходимо). Это даёт непрерывное распределение толщины по поверхности.
- Для простых пространственно меняющихся плёнок (клин/наклон) можно определить градиент толщины через расстояние между соседними полосами: если $t(x)$ меняется медленно, то разность толщин между последовательными максимумами $\Delta t=\lambda /(2n\cos {\theta }_t)$ даёт локальную регулировку: $\mathrm{d}t/\mathrm{d}x\approx \Delta t/\Delta x$.
Практические советы
- Для точности: использовать когерентный источник (лазер) для хороших контрастных полос; белый свет даёт цветные порядковые полосы — удобно для грубой карты толщины.
- Если плёнка очень тонкая (нм), контролируйте тепловые/испарительные эффекты; для микронных толщин нормальная видимая интерференция легко наблюдаема.
- Для полной реконструкции $n$ и $t$ обычно используют многоволновой или многоугловой набор измерений и численную подгонку модели.
Краткое сводное уравнение восстановления толщины
$$t=\frac{(m+\beta )\lambda }{2n\cos {\theta }_t},\cos {\theta }_t=\sqrt{1-{\left(\frac{n_0\sin \theta }{n}\right)}^2},$$ где $\beta =0$ или $\frac{1}{2}$ зависит от суммарного фазового сдвига при отражениях.