Коротко — траектория перестаёт быть симметричной: скорость уменьшается в полёте из‑за сопротивления, дальность и высота падения меньше, время полёта меняется; при идеально упругом (коэффициент восстановления $=1$) мгновенном ударе модуль скорости после удара равен модулю скорости до удара (вертикальная компонента меняет знак), но из‑за сопротивления воздухом последующий подъём будет уже меньшим. Ниже — уравнения, ключевые результаты и школьные приближения.
Движение в воздухе с квадратичным сопротивлением:
- сила сопротивления можно записать $F_d=-kvv$, где $k=\frac{1}{2}{C}_d\rho A$, $v=|v|$.
- уравнения движения для массы $m$:
$$m{\dot{v}}_x=-kv{v}_x,m{\dot{v}}_z=-mg-kv{v}_z.$$
Некоторые частные решения и понятные величины:
- терминальная скорость (для вертикального свободного падения вниз)
$$v_t=\sqrt{\frac{mg}{k}}.$$ - для почти чисто горизонтального движения (если $v\approx v_x$) уравнение даёт при квадратичном сопротивлении
$${\dot{v}}_x=-\frac{k}{m}{v}_x^2\Rightarrow v_x(t)=\frac{v_{x0}}{1+\frac{k}{m}{v}_{x0}t}.$$ - для вертикального падения/подъёма (одномерно) при начальной скорости $0$ вниз
$$v_z(t)=v_t\tanh \left(\frac{gt}{v_t}\right),$$ а при подъёме/отрицательных знаках — используются гиперболические функций с соответствующими знаками (см. интеграцию уравнения ${\dot{v}}_z=-g-(k/m)v_z|v_z|$).
Последствия для траектории и скорости при ударе:
- из‑за диссипации в воздухе кинетическая энергия уменьшается в полёте, поэтому скорость удара $v_{\text{impact}}$ меньше, чем в вакууме.
- при идеальной упругости мгновенный удар меняет знак вертикальной компоненты: если перед ударом скорость $(v_x,v_z)$, то сразу после удара $(v_x,-v_z)$ по модулю та же величина; горизонтальная компонента не меняется, т.е.
$$v_x^{+}=v_x^{-},v_z^{+}=-v_z^{-},|v^{+}|=|v^{-}|.$$ - однако дальше воздух снова тормозит мяч, поэтому подъём после удара будет короче, и при последовательных ударах амплитуда быстро затухает.
Какие приближения допустимы в школьном курсе:
1. «Без сопротивления» — первый шаг для понимания (симметричная парабола, время полёта $T=2v_0\sin \alpha /g$, дальность $R=v_0^2\sin (2\alpha )/g$).
2. «Слабое сопротивление» (пертурбация): если отношение сил сопротивления к весу мало, можно брать сопротивление как маленькую поправку; полезна безразмерная оценка
$$\kappa =\frac{k{v}_0^2}{mg}.$$ Если $\kappa \ll 1$, траектория близка к параболе и поправки можно получить приближённо.
3. «Линейная аппроксимация» $F_d\propto v$ — годится при малых скоростях / малых числах Рейнольдса; даёт простые экспоненциальные законы $v\propto e^{-bt/m}$ и аналитические формулы для траектории.
4. «Разделение компонент» — при малом угле или когда одна компонента доминирует, можно решать уравнение для каждой компоненты отдельно, используя указанные частные решения для квадратичного сопротивления.
5. Для точного прогноза (общий 2D случай с квадратичным сопротивлением) требуется численная интеграция уравнений движения.
Рекомендация для школьников: оценить величину $\kappa$ и $v_t$. Если $\kappa \ll 1$ или $v_0\ll v_t$, можно ограничиться вакуумной параболой или учесть малую поправку; если нет — использовать численное моделирование или аппроксимации: горизонтальная скорость по формуле $v_x(t)=v_{x0}/(1+(k/m)v_{x0}t)$ и вертикальная с учётом $v_t$ для качественных оценок.
(Кратко: сопротивление уменьшает скорость в полёте, ломает симметрию траектории и снижает высоту/дальность; при идеальной упругости момент удара не теряет модуль скорости, но дальнейшая траектория уже короче из‑за аэроторможения. Для школьного анализа: выключить сопротивление, использовать линейную модель или малую поправку, в общем случае — численно.)