- Механизм (коротко): при относительном движении магнита и металлической детали меняется магнитный поток $\Phi$ в замкнутых контурах металла, по закону Фарадея возникает ЭДС $\mathcal{E}=-\frac{d\Phi }{dt}$. По закону Ома локальные токи связаны с полем как $J=\sigma E$. Мгновенная плотность потерь Джоуля:
$$p=J\cdot E=\frac{J^2}{\sigma }=\sigma E^2.$$
- Геометрия и маршруты токов:
- Величина индуцированной ЭДС пропорциональна скорости изменения потока и площади замкнутого контура: $\mathcal{E}\sim -\frac{d}{dt}\iint B\cdot dS$. Чем больше «площадь петель» и чем быстрее изменение поля, тем больше $\mathcal{E}$.
- Сопротивление контура $R$ зависит от длины пути и поперечного сечения: $R\propto \frac{\text{длина}}{\sigma \cdot \text{площадь сечения}}$. Для отдельной петли ток $I=\mathcal{E}/R$ и рассеиваемая мощность $P=I^{2}R={\mathcal{E}}^2/R$ — значит при фиксированной ЭДС повышение проводимости (уменьшение $R$) увеличивает ток и, до порога, увеличивает рассеиваемую мощность.
- Разрезы, шлицы, ламинирование уменьшают площадь замыкающих петель и/или увеличивают $R$ на пути вихревых токов → сильное уменьшение потерь.
- Проводимость и динамика поля (два предельных режима):
1. Тонкая/низкопроводящая пластина (толщина $t\ll \delta$, где $\delta$ — глубина проникновения): локальное напряжённое поле можно считать заданным, тогда $E\sim vB$, $J=\sigma vB$ и плотность потерь
$$p=\sigma v^2{B}^2,$$ суммарная потеря по толщине $\propto \sigma t{v}^2{B}^2$.
2. Толстый/высокопроводящий материал (толщина $t\gg \delta$): токи ограничены поверхностной зоной глубиной скин-слоя
$$\delta =\sqrt{\frac{2}{\mu \sigma \omega }},$$ где $\omega$ — характерная угловая частота изменения поля (для движения со скоростью $v$ можно оценить $\omega \sim kv$, $k\sim 2\pi /\lambda$ — пространственный спектр поля). В этом режиме вихревые токи экранируют внутренность (эффект Ленца), потери концентрируются в слое толщиной $\sim \delta$ и растут приблизительно как $\propto B^2\sqrt{\sigma \omega /\mu }$ (асимптотическое масштабирование).
- Влияние скорости и спектра поля: при росте скорости $v$ возрастает $\frac{d\Phi }{dt}$ и характерные $\omega$ → потери обычно растут быстрее линейно (в квази-статическом тонком слое $P\propto v^2$, в скин-режиме масштабирование меняется согласно зависимости от $\sqrt{\omega }$).
- Практические следствия для конструкции рельсового тормоза:
- Уменьшить замкнутые контуры: разрезы, щелевые разъединения, секционирование деталей.
- Увеличить сопротивление путей токов: тонкие элементы, узкие перерезы, неметаллические вставки.
- Использовать материалы с меньшей $\sigma$ или с высокой магнитной проницаемостью/структурой, которая повышает $\delta$ в нужном режиме (или наоборот, при необходимости локализации нагрева — выбирать соответствующе).
- Учитывать, что сглаживание краёв и уменьшение площади, обдуваемой переменным полем, снижает локальные концентрации тока и нагрев.
Коротко: геометрия определяет величину и форму индуцированной ЭДС (площадь петель и пути токов), проводимость определяет величину токов и режим распространения поля (тонкая/толстая, скин-эффект), а в результате — пространственное распределение и величину потерь через соотношения $\mathcal{E}=-\frac{d\Phi }{dt}$, $J=\sigma E$, $p=\sigma E^2$ и глубину проникновения $\delta =\sqrt{\frac{2}{\mu \sigma \omega }}$.