Туннелирование — это чисто волновой эффект: волновая функция частицы в классическом запрещённой области становится затухающей экспоненциальной, поэтому вероятность проникновения через барьер падает экспоненциально с «толщиной» барьера и зависит от массы через скорость затухания.
Краткое объяснение через одномерное уравнение Шрёдингера:
$$-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{d^2\psi }{d{x}^2}+V(x)\psi =E\psi .$$ В области, где $V(x)>E$, вводя $\kappa (x)=\sqrt{\frac{2m(V(x)-E)}{{\hslash }^2}}$, общее решение содержит экспоненциально затухающую компоненту $\psi \propto e^{-\int \kappa (x)dx}$. Для прямоугольного барьера высоты $V_0$ и ширины $a$ при $E<V_0$:
$$\kappa =\sqrt{\frac{2m(V_0-E)}{{\hslash }^2}},T\sim e^{-2\kappa a}(\text{для большого барьера}).$$ В более общем (WKB) приближении коэффициент прохождения даётся
$$T\approx \exp (-2{\int }_{x_1}^{x_2}\kappa (x)dx),$$ где $x_1,x_2$ — точки классического обращения. Отсюда очевидно: размер экспоненты линейно зависит от ширины интегрального интервала и от $\kappa$, а $\kappa \propto \sqrt{m}$, поэтому тяжелые частицы туннелируют экспоненциально хуже, а увеличение ширины барьера даёт экспоненциальное подавление прохождения.
Ключевые физические следствия:
- масса $m$ входит под корень в $\kappa$ → $T\propto \exp (-\mathrm{const}\cdot \sqrt{m}a)$;
- энергия $E$ приближающаяся к $V$ уменьшает $\kappa$ → рост $T$;
- форма барьера влияет через интеграл $\int \kappa (x)dx$.
Примеры применений:
- сканирующий туннельный микроскоп (STM): ток $I\propto e^{-2\kappa s}$ даёт атомное разрешение при изменении зазора $s$;
- туннельные и резонансные диоды (быстрая нелинейная электроника);
- Джозефсоновы переходы и сверхпроводящие кубиты (туннелирование пар Купера задаёт Josephson-токи и квантовые переходы);
- флеш-память и EEPROM: пробой/запись через тонкий диэлектрик реализуется за счёт туннелирования (Fowler–Nordheim);
- магнитные туннельные переходы (MTJ) в MRAM — туннелирование спин-поляризованных электронов;
- туннельные полевые транзисторы (TFET) для низкопотребляющей электроники;
- альфа-распад в ядерной физике и полевая эмиссия электронов в источниках электронов.
Таким образом экспоненциальная зависимость следует прямо из затухания волновой функции в запрещённой области и объясняет чувствительность туннельных явлений к массе и толщине барьера, что делает туннелирование и его управление полезным в широком спектре технологий.