Кратко — через уравнения Эйлера в оси главных моментов инерции и их линеаризацию. Пусть главные моменты $I_1,I_2,I_3$, движение в теле-фиксированной системе, угловая скорость $\mathbf{\omega }=({\omega }_1,{\omega }_2,{\omega }_3)$. Уравнения Эйлера (с внешними моментами $\mathbf{M}$):
$$I_1{\dot{\omega }}_1+(I_3-I_2){\omega }_2{\omega }_3=M_1,I_2{\dot{\omega }}_2+(I_1-I_3){\omega }_3{\omega }_1=M_2,I_3{\dot{\omega }}_3+(I_2-I_1){\omega }_1{\omega }_2=M_3.$$
Равновесие — быстрое вращение вокруг оси 3: ${\omega }_1={\omega }_2=0,{\omega }_3=\Omega$. Малые отклонения $\delta {\omega }_{1,2}$ при нулевых поперечных моментах $M_1=M_2=0$ удовлетворяют линейным уравнениям
$$I_1{\dot{\delta \omega }}_1+(I_3-I_2)\Omega \delta {\omega }_2=0,I_2{\dot{\delta \omega }}_2+(I_1-I_3)\Omega \delta {\omega }_1=0.$$
Отсюда выпадает второе порядка (напр., для $\delta {\omega }_1$):
$${\ddot{\delta \omega }}_1+{\Omega }^2\frac{(I_3-I_2)(I_3-I_1)}{I_1{I}_2}\delta {\omega }_1=0.$$
Условия устойчивости и характер возмущений:
- Если $(I_3-I_2)(I_3-I_1)>0$ (то есть $I_3$ — либо наибольший, либо наименьший из трёх), то корень положителен и колебания ограничены: возмущения дают прецессию/вихляние (nu­tation/coning) с частотой
$${\omega }_n=\Omega \sqrt{\frac{(I_3-I_2)(I_3-I_1)}{I_1{I}_2}}.$$
- Если $(I_3-I_2)(I_3-I_1)<0$ (ось 3 — промежуточная по инерции), то решение растёт экспоненциально — неустойчивость (теннисный эффект/«вихляние» перерастает в переворот). Скорость роста:
$$\lambda =\Omega \sqrt{\frac{-(I_3-I_2)(I_3-I_1)}{I_1{I}_2}}.$$
Комментарии по негладкой (несимметричной) геометрии и внешним моментам:
- Если тензор инерции не диагонален в выбранной системе, сначала диагонализировать его (найти главные оси); линейизация проводится в главных осях.
- Внешние моменты (гравитационный градиент, аэродинамика, магнитные моменты) дают вынужденную прецессию. При малых постоянных торках поперечная скорость прецессии оценивается как $\dot{\varphi }\sim M/(I_3\Omega )$.
Влияние на управление ориентацией:
- При стабильном быстром вращении вокруг оси с максимальным/минимальным $I$ гироскопический эффект даёт «жёсткость» и относительную простоту поддержания ориентации, но остаются конусные колебания (нужен демпфинг).
- Для случая промежуточной оси требуется активное управление: реакционные колёса/CMG, магнитные торкеры или активные демпферы, иначе малая ошибка быстро выведет корпус из ориентации.
- Быстрая скорость $\Omega$ увеличивает частоту свободных колебаний (или темп неустойчивого роста), поэтому для пассивной устойчивости обычно выбирают вращение вокруг наибольшего или наименьшего момента; для задач точного наведения требуется подавление нутации (нитационные демпферы, управляющие моменты).
- Практически: проектирование распределения масс (направить максимум момента вдоль оси спина), предусмотреть сенсоры для детектирования конуса и систему актуации для его гашения.
Итого: основная математика — уравнения Эйлера и их линеаризация; критерий устойчивости — знак $(I_3-I_2)(I_3-I_1)$; следствия — ограниченные прецессонные колебания при устойчивом спине и экспоненциальная «вихляющая» нестабильность при спине вокруг промежуточной оси, что прямо определяет стратегию управления.