Предложу несколько простых моделей (с обозначениями: масса тележки $M$, малая масса $m$, начальная скорость тележки $V_0$, начальная скорость груза $u_0$ — обычно $u_0=0$, расстояние от центра тележки до места приложения удара $r$, начальный момент инерции тележки вокруг её центра $I_0$) и кратко разберу, как экспериментально отличить упругое и неупругое взаимодействие.
Модели и основные уравнения
1) Центральный удар (нет вращения)
- Полностью неупругое (прилипание). Законы сохранения линейного импульса:
$$M{V}_0+m{u}_0=(M+m)V_f.$$ Для $u_0=0$:
$$V_f=\frac{M}{M+m}{V}_0.$$ Поток энергии:
$$E_i=\frac{1}{2}M{V}_0^2,E_f=\frac{1}{2}(M+m)V_f^2=\frac{1}{2}\frac{M^2}{M+m}{V}_0^2,$$ потеря механической энергии
$$\Delta E=E_i-E_f=\frac{1}{2}M{V}_0^2(1-\frac{M}{M+m})=\frac{1}{2}M{V}_0^2\frac{m}{M+m}.$$ - Совершенно упругое (центральное). Для общих скоростей:
$$v_M^{\prime }=\frac{M-m}{M+m}{V}_0+\frac{2m}{M+m}{u}_0,v_m^{\prime }=\frac{2M}{M+m}{V}_0+\frac{m-M}{M+m}{u}_0.$$ Для $u_0=0$ — стандартные формулы, и суммарная кинетическая энергия сохраняется.
2) Оф-центр (удар с образованием вращения) — прилипание в краю
- После прилипания момент инерции увеличивается:
$$I_f=I_0+m{r}^2.$$ - Законы (линейный импульс и момент импульса относительно центра тележки при отсутствии внешних горизонтальных моментов):
линейный:
$$M{V}_0+m{u}_0=(M+m)V_f.$$ приближённо (если тележка изначально не вращалась, ${\omega }_0=0$) момент импульса относительно центра (если внешние моменты малы):
$$m{u}_{0}r\approx I_f\omega .$$ => угловая скорость после прилипания:
$$\omega =\frac{m{u}_{0}r}{I_0+m{r}^2}.$$ - Энергетическое распределение: суммарная механическая энергия после удара
$$E_f=\frac{1}{2}(M+m)V_f^2+\frac{1}{2}{I}_f{\omega }^2.$$ Если прилипания — часть начальной кинетической энергии переходит во внутреннюю (тепло/деформация), поэтому обычно $E_f<E_i$.
3) Частично неупругий удар (коэффициент восстановления $e$, без прилипания)
- По нормали:
$$e=\frac{v_{rel}^{(after)}}{v_{rel}^{(before)}}=\frac{v_m^{\prime }-v_M^{\prime }}{V_0-u_0}.$$ Используется вместе с сохранением импульса для нахождения скоростей; при $e=1$ — упругое, при $e=0$ — полностью неупругое (прилипание).
Приближения для случая $m\ll M$ (типично: двухтонная тележка и «маленький груз»):
- Из линейного импульса $V_f\approx V_0(1-\frac{m}{M})$ — изменение поступательной скорости мало.
- Угловая скорость при оф-центре (если весь момент $m{V}_{0}r$ превращается в вращательный):
$$\omega \approx \frac{m{V}_{0}r}{I_0+m{r}^2}(\text{если}M\gg m\text{и центр тележки почти не изменяет}V).$$
Как экспериментально отличить упругое и неупругое взаимодействие
1) Измерения скоростей:
- Измерьте поступательную скорость тележки до и после удара ($V_0$ и $V_f$). Для упругого удара суммарная кинетическая энергия (сумма поступательной и вращательной, если есть вращение) сохраняется; для неупругого — уменьшается. Практически:
- использовать лазерный доплеровский датчик, фотодатчики/энкодер, высокоскоростную камеру;
- если после удара наблюдается прилипания груза к краю (визуально) — это признак неупругого прилипания.
2) Измерение вращения:
- Наклейте маркер на край тележки и снимайте на высокоскоростную камеру или используйте гироскоп/IMU. Если после удара возникает значимая $\omega$ — часть энергии ушла в вращение. Сравнив $E_{trans}+\frac{1}{2}{I}_f{\omega }^2$ с $E_i$, можно судить об утрате энергии в неупругую тепловую/деформационную составляющую.
3) Измерение отскока (коэффициент восстановления):
- Если груз отскакивает (не пристаёт), измерьте относительные скорости до и после удара и вычислите $e$. Для упругого $e\approx 1$, для неупругого $e<1$. В случае прилипания $e=0$.
4) Тепловая/акустическая энергия и деформация:
- Неупругие удары обычно дают тепловой нагрев, акустический сигнал и видимую деформацию. Измерьте прирост температуры или энергию звука — это подтверждает внутренние потери.
5) Контрольные эксперименты:
- Повторите серию ударов при различных смещениях $r$. Упорядоченная зависимость вращательной энергии от $r$ (при прочих равных) согласуется с передачей момента: $\omega \propto r/(I_0+m{r}^2)$. Если при росте $r$ увеличивается вращательная энергия, но суммарная механическая энергия остаётся (в пределах погрешности) равной начальной — это признак почти упругого механического обмена (мало потерь). Если суммарная механическая энергия существенно меньше — неупругое взаимодействие.
Короткие рекомендации для типичного эксперимента
- Измеряйте до/после: $V$, угловую скорость $\omega$, визуально фиксируйте состояние прилипания.
- Вычисляйте $E_i$ и $E_f=\frac{1}{2}(M+m)V_f^2+\frac{1}{2}{I}_f{\omega }^2$. Если $E_f\approx E_i$ — упругое (с учётом измерительных ошибок), если $E_f<E_i$ — неупругое; при полном прилипании ожидается характерная потеря $\sim \frac{1}{2}M{V}_0^2\frac{m}{M+m}$ в центральной модели и аналогичные значения при оф-центре с доп. перераспределением в вращение.
Если нужно, могу привести конкретные численные примеры расчёта для заданных $M$, $m$, $V_0$, $r$ и $I_0$.