Уравнение движения (модель)
- Для кинетического трения (Coulomb) с пространственно‑зависимым коэффициентом $\mu (x)$ и внешней силой $F_{\mathrm{ext}}(t)$:
$$m\ddot{x}=-\mu (x)mg\mathrm{sgn}(\dot{x})+F_{\mathrm{ext}}(t).$$ Здесь $\mathrm{sgn}(\dot{x})=\pm 1$ при $\dot{x}\ne 0$. Для численной реализации удобно регуляризовать $\mathrm{sgn}$ через $\tanh (\dot{x}/\epsilon )$.
Потеря механической энергии
- Закон изменения кинетической энергии:
$$\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2\right)=-\mu (x)mg|\dot{x}|+F_{\mathrm{ext}}(t)\dot{x}.$$ - Для случая без внешней силы ($F_{\mathrm{ext}}=0$) интегрирование по координате даёт зависимость энергии от пройденного пути:
$$\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2(x)=\frac{1}{2}m{\dot{x}}_0^2-mg{\int }_{x_0}^x\mu (s)ds.$$ Отсюда потеря кинетической энергии при фазовом перемещении $[x_0,x]$ равна $mg{\int }_{x_0}^x\mu (s)ds$.
Условие остановки (без внешней силы)
- Точкой остановки $x_{\mathrm{stop}}$ является решение
$$\frac{1}{2}m{\dot{x}}_0^2=mg{\int }_{x_0}^{x_{\mathrm{stop}}}\mu (s)ds.$$ - Если интеграл по полуоси бесконечно большой, стоп произойдёт обязательно. Если же
$$mg{\int }_{x_0}^{\infty }\mu (s)ds<\frac{1}{2}m{\dot{x}}_0^2,$$ то остаточная кинетическая энергия $\frac{1}{2}m{\dot{x}}_{\infty }^2=\frac{1}{2}m{\dot{x}}_0^2-mg{\int }_{x_0}^{\infty }\mu (s)ds>0$ и тело не остановится (уйдёт на бесконечность).
- В реальности нужно учитывать статическое трение ${\mu }_s(x)$: если при достижении $\dot{x}=0$ внешние силы меньше ${\mu }_{s}mg$, тело закрепляется (прилипание).
Условия периодического движения при внешней периодической силе
- Для внешней силы периода $T$ баланс энергии за период в установившемся режиме:
$$\frac{1}{T}{\int }_0^T{F}_{\mathrm{ext}}(t)\dot{x}(t)dt=\frac{1}{T}{\int }_0^T\mu (x(t))mg|\dot{x}(t)|dt.$$ Периодическое движение (установившийся периодический режим или limit cycle) возможно если средняя подводимая мощность равна средней диссипации.
- Амплитуда и форма $F_{\mathrm{ext}}(t)$ определяют режимы:
- Если ${\max }_t|F_{\mathrm{ext}}(t)|<{\min }_x{\mu }_s(x)mg$, то тело может оставаться в состоянии «прилипания» (нет движения).
- Если амплитуда превышает локальную статическую границу, возникают фазы скольжения/прилипания (stick–slip). Такое движение может быть периодическим (с периодом, равным $T$ или кратным ему) при совпадении входной работы и средних потерь.
- При отсутствии возвратной силы (пружины) возможен также средний дрейф (ненулевая средняя скорость) — если за период суммарная работа $F_{\mathrm{ext}}$ больше суммарных потерь и тело не ограничено по пространству. Для получения замкнутого периодического движения часто требуется наличие пространственно‑ограничивающей силы (пружины) или геометрических границ.
Практические замечания для анализа
- Интегрируйте численно уравнение с учётом сдвига $\mathrm{sgn}$; учтите ${\mu }_s(x)$ для режимов прилипания.
- Для поиска периодических решений используйте Poincaré‑отображение (сечения в моменты $t=nT$) и проверку условия средней мощности.
- Для аналитических оценок полезно рассматривать энерго‑баланс за период и локальные условия скольжения: $|F_{\mathrm{ext}}(t)|>{\mu }_s(x)mg$.
Кратко: модель — уравнение $m\ddot{x}=-\mu (x)mg\mathrm{sgn}(\dot{x})+F_{\mathrm{ext}}(t)$;\; энергия убывает по закону $\frac{d}{dt}(\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2)=-\mu mg|\dot{x}|+F_{\mathrm{ext}}\dot{x}$;\; остановка определяется условием $\frac{1}{2}m{\dot{x}}_0^2\le mg{\int }_{x_0}^{\infty }\mu (s)ds$ (с учётом ${\mu }_s$ для прилипания); периодический режим возможен при равенстве средней подводимой и рассеиваемой мощности за период.