Кратко — по пунктам с формулами и необходимыми пояснениями.
1) Уравнения движения (в тельной системе координат, главные моменты инерции $I_1,I_2,I_3$):
$${\dot{L}}_i+{\epsilon }_{ijk}{\omega }_j{L}_k={\tau }_i,L_i=I_i{\omega }_i,$$ или в развернутом виде (Эйлеровы уравнения)
$$I_1{\dot{\omega }}_1-(I_2-I_3){\omega }_2{\omega }_3={\tau }_1,\text{и циклически.}$$ При отсутствии внешнего момента $\mathbf{\tau }=0$ имеем крутильное (torque‑free) движение с $\dot{\mathbf{L}}=0$.
2) Предцессия и нутация — физическая суть:
- Предцессия — медленное вращение оси тела вокруг направления постоянного вектора момента импульса $\mathbf{L}$ (или вокруг вертикали при гравитационном поле). При «постоянной» предессии угол между осью и $\mathbf{L}$ постоянен, ось описывает круговое движение (в пространстве меняется лишь азимут).
- Нутация — колебание наклона (угла) оси тела: ось совершает быстрые колебания вокруг среднего положения; в динамике это связано с изменением углового скорости и угла между осью и $\mathbf{L}$.
Для свободного тела (без момента): $\mathbf{L}$ в пространстве постоянен, кинетическая энергия
$$E=\frac{1}{2}\mathbf{\omega }\cdot \mathbf{I}\mathbf{\omega }=\frac{1}{2}\sum _i{I}_i{\omega }_i^2$$ константа. Геометрически движение определяется пересечением поверхности инерции (инерционный эллипсоид)
$$\mathbf{\omega }\cdot \mathbf{I}\mathbf{\omega }=2E$$ и сферы углового момента
$$\mathbf{I}\mathbf{\omega }=\mathbf{L},L^2=\text{const}.$$ Траектория в тельных осях называется полход (polhode), в пространстве — герполход (herpolhode). Колебательное изменение угла между осью и $\mathbf{L}$ — нутационные осцилляции.
3) Частный случай: тяжёлый симметричный волчок ( $I_1=I_2$, под действием гравитационного момента) — удобно в углах Эйлера $(\varphi ,\theta ,\psi )$. Интегралы:
- Полная энергия
$$E=\frac{1}{2}{I}_1({\dot{\theta }}^2+{\dot{\varphi }}^2{\sin }^2\theta )+\frac{1}{2}{I}_3(\dot{\psi }+\dot{\varphi }\cos \theta {)}^2+Mgl\cos \theta ;$$ - компонент углового момента вдоль вертикали (в пространстве) $L_z=p_{\varphi }=$ const;
- компонент углового момента по оси симметрии тела $L_3=p_{\psi }=I_3(\dot{\psi }+\dot{\varphi }\cos \theta )=$ const.
В итоге редуцируется к одномерной задаче для $\theta (t)$:
$$\frac{1}{2}{I}_1{\dot{\theta }}^2+V_{\mathrm{eff}}(\theta )=E,V_{\mathrm{eff}}(\theta )=\frac{(L_z-L_3\cos \theta {)}^2}{2I_1{\sin }^2\theta }+\frac{L_3^2}{2I_3}+Mgl\cos \theta .$$ Колебания $\theta (t)$ — нутация; срединная медленная смена $\varphi (t)$ — предессия.
4) Интегралы движения — суммарно:
- при $\mathbf{\tau }=0$: векторный интеграл $\mathbf{L}$ (т.е. компоненты в инерциальной СК по трём координатам постоянны) и энергия $E$;
- при внешнем поле с симметрией (например, тяжелый симметричный волчок): сохраняются $E$, один или два компонента $\mathbf{L}$ (в зависимости от симметрии и направления поля) и, для осесимметричного тела, компонент $L_3$ вдоль оси симметрии; в общем случае число независимых интегралов определяется симметрией (обычно меньше, чем для случайного тела).
5) Влияние энергетических потерь (внутреннее трение, вязкая демпфировка):
- Если система изолирована по импульсу (нет внешнего момента), внутренние диссипативные силы сохраняют суммарный угловой момент $\mathbf{L}$ (закон сохранения момента для замкнутой системы), но уменьшают кинетическую энергию $E$.
- При фиксированном $\mathbf{L}$ и убывающем $E$ состояние тела стремится к минимуму энергии при заданном $\mathbf{L}$. Для диссипативного свободного тела это означает выравнивание вращения вдоль главной оси с наибольшим моментом инерции $I_{\max }$, поскольку для фиксированного $L$ $$T=\frac{L^2}{2I}$$ минимизируется при максимуме $I$. Следствие: нутационные колебания затухают, предессия замедляется и остаётся чистое вращение вокруг устойчивой оси.
- Для тяжёлого волчка с трением: амплитуда нутации уменьшается, система либо приходит к устойчивому постоянному прецессирующему решению (если внешний момент может компенсировать потери), либо к покою/вертикальному фиксированному положению в зависимости от величины начального момента и силы трения.
- Временные масштабы: диссипация медленно переводит систему по траекториям уровня постоянного $\mathbf{L}$ в фазовом пространстве к точке/циклу минимальной энергии; при малой фрикции это адiabатический затухающий процесс — амплитуда нутации экспоненциально убывает с характерным временем, зависящим от коэффициента внутреннего трения.
6) Итог (правила практики):
- Для анализа берут Эйлеровы уравнения + учёт внешнего момента $\mathbf{\tau }$.
- Для свободного тела: постоянны $\mathbf{L}$ и $E$; движение описывается полход/герполход; предессия — вращение оси вокруг $\mathbf{L}$, нутация — колебание наклона.
- Диссипация сохраняет $\mathbf{L}$ (если внешний момент отсутствует) и уменьшает $E$, что приводит к затуханию нутации и установлению вращения по главной оси с наибольшим $I$. При наличии внешних моментов устойчивое состояние — минимум полной энергии (с учётом внешних сил) при учёте сохраняемых проекций момента, если такие есть.
Если нужно, выслушаю конкретный пример (состав моментов инерции, характер момента $\mathbf{\tau }$) и запишу уравнения и явную формулу для $\theta (t)$ или оценку времени затухания.