Кратко — формулы для одномерного траекторного радиуса $\rho$, одиночного релятивистского электрона и основные выводы для проектирования.
Основные величины
- критическая угловая частота (половина спектра, характерный масштаб):
$${\omega }_c=\frac{3}{2}{\gamma }^3\frac{c}{\rho }$$ (через магнитное поле и угол наклона $\alpha$: $\rho =\frac{\gamma mc}{eB\sin \alpha }$, поэтому ${\omega }_c=\frac{3}{2}{\gamma }^2\frac{eB\sin \alpha }{m}$.)
- полная мгновенная мощность излучения (Лиенарад/релятивистская Лармора, ускорение по нормали $a_{\perp }\approx c^2/\rho$):
$$P=\frac{2e^2}{3c^3}{\gamma }^4{a}_{\perp }^2\approx \frac{2e^{2}c}{3}\frac{{\gamma }^4}{{\rho }^2}.$$ Эквивалентная форма через $B$:
$$P=\frac{2e^4{B}^2{\gamma }^2{\sin }^2\alpha }{3m^2{c}^3}.$$
Спектр одиночного электрона
- дифференциальная мощность по частоте:
$$\frac{dP}{d\omega }=\frac{\sqrt{3}{e}^{3}B\sin \alpha }{2\pi m{c}^2}F\left(\frac{\omega }{{\omega }_c}\right),$$ где
$$F(x)=x{\int }_x^{\infty }{K}_{5/3}(\xi )d\xi$$ и $K_{5/3}$ — модифицированная функция Бесселя. Спектр имеет максимум при $\omega \approx 0.29{\omega }_c$.
Асимптотики:
- при $\omega \ll {\omega }_c$: $\frac{dP}{d\omega }\propto {\omega }^{1/3}$;
- при $\omega \gg {\omega }_c$: $\frac{dP}{d\omega }\propto {\left(\frac{\omega }{{\omega }_c}\right)}^{1/2}{e}^{-\omega /{\omega }_c}$.
Коллективные эффекты
- при распределении частиц по энергиям $N(\gamma )\propto {\gamma }^{-p}$ получается фотонный спектр $I_{\nu }\propto {\nu }^{-(p-1)/2}$ в оптически тонком диапазоне.
- характерный угловой лепесток излучения ~$1/\gamma$ (направленность), высокая поляризация для упорядоченного поля.
Охлаждение и время жизни
- время радиационного охлаждения электрона:
$${\tau }_{\mathrm{rad}}=\frac{\gamma m{c}^2}{P}=\frac{3mc}{2e^2}\frac{{\rho }^2}{{\gamma }^3}.$$ Следствие: ${\tau }_{\mathrm{rad}}\propto {\rho }^2/{\gamma }^3$ — быстрый рост потерь при увеличении энергии.
Последствия для проектирования ускорителей и астрофизики
- для электронных кольцевых ускорителей синхротронные потери ограничивают максимальную энергию: нужно увеличивать радиус $\rho$ (большие кольца) или переходить на более тяжёлые частицы (протоны), либо использовать линейные структуры.
- требуется пополнение энергии (RF-системы) и теплоотвод; проект: большие радиусы, мощные RF, охлаждение и защита от фотонов.
- для синхротронных источников света: можно выбирать ${\omega }_c$ (спектр) через $B$, $\rho$, $\gamma$ — удобный источник широкополосного, поляризованного излучения.
- в астрофизике: спектр и ${\omega }_c$ дают диагностику магнитного поля и энергии частиц; радиационное охлаждение формирует спектральные разрывы (cut-off, ageing); сильное бимирование влияет на наблюдаемую яркость и временные профили всплесков.
Если нужно, могу: 1) подставить численные величины и дать пример спектра для конкретных $\rho ,\gamma ,B$; 2) вывести связь между $P$ и $B$ через $\rho$.