Кратко — эффект зависит от угловой скорости $\omega$ и радиуса $r$. Ниже — с формулами, численными примерами и практическими ограничениями.
Основные формулы
- центростремительное (кажущееся «тяжестное») ускорение: $$a_c={\omega }^{2}r=\frac{v^2}{r}.$$ - для имитации земной тяжести $g$: $$\omega =\sqrt{\frac{g}{r}},T=\frac{2\pi }{\omega }=2\pi \sqrt{\frac{r}{g}}.$$ - скорость вращения в оборотах в минуту: $$n(\text{rpm})=\frac{60}{2\pi }\sqrt{\frac{g}{r}}.$$ - кориолисово ускорение при движении со скоростью $v$ в вращающейся системе: $$a_{Cor}=2\omega v.$$ - разница «тяжести» между стопами и головой при росте $h$: $$\Delta a={\omega }^{2}h=\frac{h}{r}{a}_c(\text{относительно}{a}_c\text{часть}=\frac{h}{r}).$$
Примеры (имитация $g=9.81m/{\mathrm{s}}^2$)
- $r=4\mathrm{m}$: $\omega \approx 1.566rad/s$, $n\approx 15\mathrm{rpm}$. Для человека роста $h=2\mathrm{m}$ относительная разница «высота» $\approx 50\%$. Кориолис при ходьбе $v=1m/s$: $a_{Cor}\approx 3.13m/{\mathrm{s}}^2$ (~0.32\,g) — сильные боковые отклонения, тошнота.
- $r=100\mathrm{m}$: $\omega \approx 0.313rad/s$, $n\approx 3\mathrm{rpm}$. $\Delta a/a\approx 2\%$. $a_{Cor}$ при $v=1m/s$ ≈ $0.63m/{\mathrm{s}}^2$ (~0.064\,g) — заметно, но терпимо.
- чтобы получить $n\le 2\mathrm{rpm}$ (обычно рекомендуемый ориентир): нужно $r\gtrsim 224\mathrm{m}$. Для $n=1\mathrm{rpm}$: $r\approx 894\mathrm{m}$.
Распределение нормальной реакции
- в идеальном жёстком кольце нормальная реакция на уровне пола: $N=m{\omega }^{2}r$ для массы $m$. Она направлена радиально наружу и пропорциональна радиусу точки.
- если высота человека не пренебрежима, «пол» у стоп и «потолок» у головы испытывают разные $a_c$: разница пропорциональна $\Delta r$ (т.е. росту), значит при малом $r$ люди «чувствуют» градиент силы между стопами и головой.
- в реальной гибкой конструкции распределение нагрузок зависит от жёсткости пола, передаче сил в конструкцию и разгрузке через внутренние перегородки; атмосферное давление в кольце формирует радиальный градиент давления $\mathrm{d}p/\mathrm{d}r=\rho {\omega }^{2}r$.
Структурные соображения (коротко)
- для тонкого кольца суммарное натяжение, создаваемое для удержания масс $M$ на радиусе $r$: $$T\approx \frac{M{\omega }^{2}r}{2\pi }.$$ При заданной имитации $g$ это даёт $T\approx \frac{Mg}{2\pi }$ (зависимость от $r$ исчезает, если масса и требуемое «g» фиксированы), но реальная масса конструкции растёт с размерами, поэтому крупные $r$ требуют больше материала и сложнее в производстве/запуске.
- вибрации, переходные моменты при раскрутке, резонансы и соединения усложняют инженерию для больших колец.
Практические ограничения и последствия
- человекочитаемость/комфорт: высокие $\omega$ (малые $r$) → сильные кориолисовы эффекты и градиенты «g» → укачивание, нарушение координации, проблемы с манипуляцией и ориентацией. Практически рекомендуют удерживать частоту вращения ≲2 rpm (ещё лучше ≲1 rpm) для минимизации симптомов.
- локальные эффекты: при малом $r$ простые действия (поворот головы, подбрасывание предмета, быстрая ходьба) дают заметные боковые ускорения и непредсказуемые траектории.
- атмосфера: воздух в кольце должен иметь радиальный профиль давления; при сильном вращении могут возникать потоковые эффекты и завихрения, усложняющие вентиляцию.
- строительство и масса: большой радиус уменьшает $\omega$ и нежелательные эффекты, но требует больше материала/затрат; малый радиус экономичен по объёму, но непригоден для длительного проживания без физиологического ущерба.
- манёврирование и стыковка с неротирующими кораблями усложнены; также переходная зона между центром (микрогравитация) и ободом требует удобных шлюзов и помещений.
Вывод
- Малый радиус → большая $\omega$, сильные кориолисовы силы, значительный градиент «g» по росту, выраженная неравномерность нормальной реакции → плохое самочувствие и эксплуатационные проблемы.
- Большой радиус → малая $\omega$, почти однородная нормальная реакция и слабые кориолисовы эффекты → комфортная имитация земной гравитации, но большие затраты на конструкцию и массу.
- Технический компромисс: радиусы сотни метров дают приемлемые вращения (порядка 1–3 rpm), в то время как малые центрифуги (несколько метров) годятся только для кратковременных упражнений, но не для постоянного жилья.