Коротко — почему: в открытой чашке к горячей поверхности одновременно идут три канала отдачи тепла: естественная конвекция с воздухом, тепловое излучение и испарение (латентная теплота парообразования). В закрытой чашке испарение сильно подавлено и обмен с окружающим воздух у поверхности ограничен крышкой, поэтому суммарный тепловой поток меньше и кофе остывает медленнее.
Как посчитать вклад каждого канала (идея и формулы)
1) Энергетический баланс для массы кофе $m$ и удельной теплоёмкости $c$:
$$mc\frac{d{T}_s}{dt}=-(Q_{\text{conv}}+Q_{\text{rad}}+Q_{\text{evap}}),$$ где $T_s$ — температура поверхности кофе.
2) Конвекция (сопряжённый поток тепла):
$$Q_{\text{conv}}=hA(T_s-T_{\infty }),$$ где $h$ — коэффициент теплоотдачи (W/m^2K), $A$ — открытая площадь поверхности, $T_{\infty }$ — температура воздуха.
Коэффициент $h$ можно оценить либо из корреляций свободной конвекции (например $Nu=CR{a}^n$), либо подобрать из эксперимента (см. ниже). Для грубой оценки типичные $h$ при естественной конвекции: $5\text{–}25W/{\mathrm{m}}^2\mathrm{K}$.
3) Излучение (Стефан–Больцмана):
$$Q_{\text{rad}}=\epsilon \sigma A(T_s^4-T_{\text{sur}}^4),$$ где $\epsilon$ — излучающая способность поверхности (≈0.95 для чёрного кофе), $\sigma =5.67\cdot 10^{-8}W/{\mathrm{m}}^2{\mathrm{K}}^4$, $T_{\text{sur}}$ — температура окружающих поверхностей в К. Для малых $\Delta T$ удобно линеаризовать:
$$Q_{\text{rad}}\approx 4\epsilon \sigma T_{\text{amb}}^{3}A(T_s-T_{\text{sur}}).$$
4) Испарение:
измеряют массовый поток пара $\dot{m}$ (кг/s) и умножают на удельную теплоту парообразования $L_v$:
$$Q_{\text{evap}}=L_v\dot{m},L_v\approx 2.26\cdot 10^{6}J/kg.$$ Practical: $\dot{m}$ можно получить прямым измерением потери массы:
$$\dot{m}\approx -\frac{\Delta m}{\Delta t}.$$ Альтернативно можно использовать модель массопереноса: $\dot{m}=h_{m}A({\rho }_v^{\text{sat}}(T_s)-{\rho }_{v,\infty })$, где $h_m$ — коэффициент массопереноса (аналогичен $h$ через подобие).
Как отделить вклады на практике (простая процедура)
1. Подготовка и приборы: кухонные весы (точность ~0.1 г), термопара или ИК-термометр (температура поверхности и воздуха), измеритель влажности/температуры воздуха, секундомер, одинаковая чашка, крышка для закрытого эксперимента.
2. Эксперименты:
- Запуск A — открытая чашка: налить известную массу кофе $m$ при начальной $T_s(0)$. Периодически (каждые 10–30 с) записывать массу $m(t)$ и температуру $T_s(t)$ в течение нужного времени (несколько минут).
- Запуск B — закрытая чашка (плотная крышка): повторить то же (здесь потеря массы мала).
3. Расчёт мгновенных потоков:
- Из данных массы получите $\dot{m}(t)$ численным дифференцированием или конечными разностями и $Q_{\text{evap}}(t)=L_v\dot{m}(t)$.
- Радиация: по известным $T_s(t)$, $T_{\text{sur}}$ вычислите $Q_{\text{rad}}(t)$ через формулу выше.
- Конвекция: из уравнения баланса найдите $Q_{\text{conv}}(t)=-mc\frac{d{T}_s}{dt}-Q_{\text{rad}}(t)-Q_{\text{evap}}(t)$. Затем разделите на $A(T_s-T_{\infty })$ чтобы оценить $h(t)$:
$$h(t)=\frac{-mc\frac{d{T}_s}{dt}-Q_{\text{rad}}(t)-Q_{\text{evap}}(t)}{A(T_s-T_{\infty })}.$$
4. Интегральные вклады за время $t_0$→$t_1$:
интегрируйте потоки во времени, чтобы получить доли энергии:
$$E_i={\int }_{t_0}^{t_1}{Q}_i(t)dt,i=\text{conv, rad, evap}.$$ Доля каждого канала = $E_i/{\sum }_j{E}_j$.
Упрощённая быстрая проверка (контрольные сравнения)
- Сравните потери температуры и энергии в открытой и закрытой чашке. Главное отличие — большая потеря массы (и связанный $Q_{\text{evap}}$) в открытой чашке.
- Если в закрытой чашке испарение ≈0, то разница в суммарной мощности между открытой и закрытой даёт преимущественно вклад испарения.
- Если хотите оценить только конвекцию и излучение отдельно, можно подавить испарение, закрыв чашку прозрачной крышкой и измерив $T(t)$; затем вычислить $Q_{\text{conv}}+Q_{\text{rad}}$ из $mcdT/dt$ и разложить на конвекцию и радиацию по формулам выше.
Примерная интуиция по величинам (порядки)
- Для чашки $A\sim 0.02\text{–}0.04{\mathrm{m}}^2$, $\Delta T\sim 50\text{–}60$ K, $h\sim 10W/{\mathrm{m}}^2\mathrm{K}$ даёт $Q_{\text{conv}}\sim 10\text{–}25$ W.
- Линеаризованная радиация даёт похожий порядок: несколько десятков ватт при большой $\Delta T$.
- Испарение при реальных скоростях потери массы 0.2–1.0 г/мин даёт $Q_{\text{evap}}$ порядка 5–30 W — часто оно сравнимо с суммой конвекции и излучения, поэтому его исключение в закрытой чашке заметно замедляет остывание.
Ключевые замечания по точности
- Точные значения зависят от влажности воздуха, скорости ветра, формы чашки и наличия паровой прослойки.
- Погрешности источников: шум в измерении массы, точность термопары/ИК и оценка площади $A$. Для уменьшения ошибок повторяйте опыт и усредняйте.
Итого: рассчитайте $Q_{\text{conv}}$ по $hA\Delta T$, $Q_{\text{rad}}$ по Стефан–Больцману (или его линеаризации) и $Q_{\text{evap}}=L_v\dot{m}$. Подтверждение — замеры $T(t)$ и $m(t)$ для открытой и закрытой чашек; интегрирование потоков даст вклад каждого канала.