Кратко: поведение кинетической энергии, тепловых потерь и температуры описывается уравнением движения и энергетическим балансом. Ниже — основные формулы и качественные зависимости при изменении угла наклона θ и мощности нагрева $P_h$.
1) Динамика и кинетическая энергия
- Сила вдоль склона: $F_g=mg\sin \theta$. Сила трения (локально): $F_{fr}=\mu (x,T)mg\cos \theta$ (коэффициент трения может зависеть от положения и температуры).
- Уравнение движения: $$m\frac{dv}{dt}=mg\sin \theta -\mu (x,T)mg\cos \theta .$$ - Скорость и кинетическая энергия: $$\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}m{v}^2\right)=mgv\sin \theta -\mu (x,T)mgv\cos \theta .$$
Выводы по θ:
- Если $\tan \theta \le {\mu }_s$ (статический коэффициент) — блок не сдвинется: $v=0$, кинетическая энергия мала.
- При увеличении θ растёт проекция тяжести $mg\sin \theta$ → склонность к ускорению; при прочих равных v и кинетическая энергия возрастают.
- При чисто кулоновском трении (независимом от v) и отсутствии дополнительного вязкого сопротивления ускорение остаётся положительным (v растёт) если $\sin \theta >\mu \cos \theta$, и отрицательным в обратном случае.
2) Мощность трения и тепловые потери
- Мощность, рассеиваемая трением: $$P_{fr}=F_{fr}v=\mu (x,T)mg\cos \theta v.$$ - Полная энергия, поступающая в тело в виде тепла (за некоторую долю η рассеяния в блоке): трение даёт в блок $\eta P_{fr}$ (0≤η≤1), остальное идёт в основание/контакт.
- Потери тепла в окружающую среду (упрощённо) линейны по перепаду температур: $$P_{loss}=H(T-T_0),$$ где $H$ — теплопередающий коэффициент суммарно (конвекция+контакт), $T_0$ — температура окружения.
3) Температура блока (энергетический баланс)
- Баланс внутренней энергии (теплоёмкость $c$, масса $m$): $$mc\frac{dT}{dt}=P_h+\eta P_{fr}-P_{loss}.$$ - В стационарном режиме ($dT/dt=0$): $$T_{ss}=T_0+\frac{P_h+\eta \mu mg\cos \theta v}{H}.$$ Замечание: $v$ в правой части зависит от $\theta$ и от $\mu (T)$, так что уравнение обычно нелинейное.
4) Как меняются величины при изменении параметров
- Увеличение угла $\theta$: растёт $mg\sin \theta$ → обычно увеличивается $v$ и $\frac{1}{2}m{v}^2$; вследствие этого растёт $P_{fr}$ и, при фиксированном $P_h$, стационарная температура $T_{ss}$ повышается (пока другие параметры не меняются).
- Увеличение мощности нагрева $P_h$: прямо повышает $dT/dt$ и $T_{ss}$. Повышение $T$ может изменить $\mu (T)$: часто $\mu$ уменьшается с ростом $T$, что снизит трение и может увеличить $v$, дополнительно изменив $P_{fr}$ (положительная/отрицательная обратная связь возможна).
- При наличии вязкого/аэродинамического сопротивления $F_{drag}(v)$ достигается терминальная скорость $v_t$, найденная из баланса: $$mg\sin \theta =\mu mg\cos \theta +F_{drag}(v_t).$$ В этом случае кинетическая энергия и $P_{fr}$ устанавливаются в постоянные значения и затем $T_{ss}$ определяется уравнением стационарного теплового баланса выше.
5) Практические сценарии
- Малый θ (ниже порога сдвига): $v=0,P_{fr}=0,T$ определяется только $P_h$ и потерями: $T_{ss}=T_0+P_h/H.$ - Средний θ (скольжение с нарастающей скоростью при отсутствии вязкого сопротивления): $v$ растёт во времени, $K$ растёт, $P_{fr}$ растёт пропорционально $v$, температура может неустойчиво расти до тех пор, пока не сработают дополнительные механизмы (рост потерь, изменение μ).
- Большой θ или наличие доп. сопротивления: устанавливается стационарное $v_t$, постоянные $K$, $P_{fr}$ и конечная $T_{ss}$.
Итог: количественно поведение задаётся системой
$$m\dot{v}=mg\sin \theta -\mu (x,T)mg\cos \theta -F_{drag}(v),mc\dot{T}=P_h+\eta \mu (x,T)mg\cos \theta v-H(T-T_0),$$ и все зависимости ($K,P_{fr},T$) получают из неё. Важно учитывать зависимость $\mu$ от температуры и возможное вязкое сопротивление для определения устойчивых стационарных значений.