Схема: проводящий стержень длины $\ell$ скользит по параллельным рельсам в однородном магнитном поле $B$ (вектор поля перпендикулярен плоскости рельс/стержень). Цепь замкнута через сопротивление $R$.
Какие силы действуют:
- Электромагнитная тормозящая сила $F_{mag}$ действует на стержень и направлена против его скорости (закон Ленца). Эта сила возникает из взаимодействия индуцированного тока с полем.
- При наличии внешней силы $F_{ext}$ она может компенсировать торможение; при свободном движении тормозящая сила уменьшает кинетическую энергию стержня.
Индуцированная ЭДС и ток:
- Мотонная ЭДС (модуль): $\mathcal{E}=B\ell v$.
- Индуцированный ток: $I=\frac{\mathcal{E}}{R}=\frac{B\ell v}{R}$.
Тормозящая сила:
- $F_{mag}=I\ell B=\frac{B^2{\ell }^2}{R}v$ (направлена против $v$).
Мощность и баланс энергий:
- Мощность, рассеиваемая на сопротивлении (джоулево тепло): $P=I^{2}R=\frac{B^2{\ell }^2}{R}{v}^2$.
- Механическая мощность, затрачиваемая тормозящей силой: $P_{mech}=F_{mag}v=\frac{B^2{\ell }^2}{R}{v}^2$.
- Равно: $P_{mech}=\mathcal{E}I=P$. Поток кинетической энергии переходит в тепло: $-\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}m{v}^2\right)=P$.
Динамика при наличии внешней силы:
- Уравнение движения: $m\dot{v}=F_{ext}-\frac{B^2{\ell }^2}{R}v$.
- При $F_{ext}=0$ скорость затухает экспоненциально с временем $\tau =\frac{mR}{B^2{\ell }^2}$: $v(t)=v_0{e}^{-t/\tau }$.
- При постоянном $F_{ext}$ установившаяся скорость: $v_{term}=\frac{F_{ext}R}{B^2{\ell }^2}$.
Поведение при изменении сопротивления $R$:
- Большое $R\to \infty$: $I\to 0$, $F_{mag}\to 0$, малая потеря энергии — стержень почти свободно движется.
- Малое $R\to 0$: по простейшей модели $I$ и $F_{mag}$ растут $(\propto 1/R)$ и торможение усиливается; мощность $P\propto v^2/R$ растёт при фиксированном $v$. Однако физически при $R\to 0$ надо учитывать собственную индуктивность цепи $\mathcal{L}$:
- Полное уравнение для тока: $\mathcal{L}\dot{I}+RI=\mathcal{E}=B\ell v$. При $R=0$ ток не бесконечен, он изменяется по $\mathcal{L}\dot{I}=B\ell v$, и изменение тока/движения ограничено индуктивностью; в идеальном сверхпроводнике (R=0) магнитный поток через петлю сохраняется, поэтому изменение положения стержня сильно подавляется (появляются персистентные токи).
- Вывод: увеличение $R$ ослабляет торможение и рассеяние мощности; уменьшение $R$ усиливает торможение, но предельно поведение регулируется индуктивностью и реальными ограничениями (небесконечные токи нереалистичны).