Кратко и тезисно — с формулами и примерами.
1) Суть парадокса
- Демон измеряет микроскопическую систему и по этой информации делает управление, кажущееся уменьшающим энтропию и дающим свободную работу. Вопрос: не нарушает ли это второй закон?
2) Где «спрятана» цена уменьшения энтропии
- Измерение создаёт корреляции между системой и памятью демона (взаимная информация $I$). Это уменьшает энтропию системы, но не общую. Дальнейшая обработка информации (особенно стирание памяти) требует диссипации тепла в резервуар.
3) Landauer — минимальная цена стирания
- Принцип Ландауэра: логически необратимая операция (стирание одного бита в заранее заданное состояние) требует как минимум выделить в тепловой резервуар энергию
$$Q_{\min }\ge k_{B}T\ln 2.$$ - Более общо, если до стирания бит имел распределение с энтропией $H$ (натах), минимальный теплоотвод
$$Q_{\min }\ge k_{B}TH,$$ где $H=-\sum p_i\ln p_i$. Для равновероятного бита $H=\ln 2$.
4) Количественная связь информация↔работа (Sagawa–Ueda)
- Общая граница для работы с учётом обратимой свободной энергии $\Delta F$ и взаимной информации $I$:
$$\beta (⟨W⟩-\Delta F)\ge -I,\beta \equiv 1/(k_{B}T).$$ - Для извлечения работы за счёт информации получается верхняя граница дополнительной извлекаемой работы
$$⟨W_{\mathrm{extra}}⟩\le k_{B}TI.$$ То есть знание даёт максимум $k_{B}T$ на каждую нат информации (в битах — $k_{B}T\ln 2$ на бит).
5) Разбор через пример — двигатель Сайлара
- Один молекула в коробке, перегородка, измерение стороны даёт один бит ($I=\ln 2$). Демон может извлечь работу $k_{B}T\ln 2$. Но чтобы повторить цикл, память нужно стереть — это требует как минимум $k_{B}T\ln 2$. Итог: нет бесплатной работы в стационарном режиме.
6) Ошибки, неполная информация и корреляции
- Если измерение ошибочно с вероятностью $ϵ$, взаимная информация
$$I=\ln 2-H(ϵ),H(ϵ)=-ϵ\ln ϵ-(1-ϵ)\ln (1-ϵ).$$ Максимально извлекаемая работа ограничена $k_{B}TI$. С другой стороны, энтропия памяти после измерения равна $H(ϵ)$, и её стирание стоит как минимум $k_{B}TH(ϵ)$. Суммарный выигрыш неотрицателен.
7) Ограничения и дополнительные реальные факторы
- Обработка информации может быть теоретически обратимой (не требовать диссипации), но на практике:
- конечная скорость операций даёт дополнительную диссипацию (вне квазистатического предела),
- конечный размер и неконечные резервуары — флуктуации и затраты больше минимума,
- сильная связь система–память усложняет разделение энергии/энтропии,
- квантовые измерения вносят эффекты возмущения и потери когерентности; взаимная информация и квантовая корреляция (энтропия фон Неймана) требуют аккуратного учёта,
- ограниченный объём памяти заставляет периодически стирать данные, что возвращает расход энергии согласно Ландауэру.
- Логически обратимые вычисления теоретически обходят затрату $k_{B}T\ln 2$ за бит, но требуют увеличение физических ресурсов (времени, памяти) и часто приводят к практическим потерям.
8) Итог (ответ на парадокс)
- Парадокс снимается учётом информации как термодинамической величины: уменьшение энтропии системы компенсируется увеличением энтропии памяти/резервуара при стирании. Общая вторая законоподобная неравность с информацией (Sagawa–Ueda) гарантирует, что в цикле нельзя получить свободную работу сверх $k_{B}T$ на нат информации без соответствующей платы по диссипации:
$$⟨W⟩\ge \Delta F-k_{B}TI,$$ и чистая прибыль при полном цикле не может быть положительной, если учтены затраты на обработку/стирание информации.
Если нужно, могу привести расчёт для конкретного численного примера (например, Szilard с ошибкой $ϵ=0.1$).