Теоретический предел (цикл Карно)
- Для холодильной машины (охлаждение при температуре $T_c$, сброс тепла при $T_h$, в К):
${\mathrm{COP}}_{\text{Carnot,ref}}=\frac{T_c}{T_h-T_c}$.
- Для теплового насоса (полезный тёплый поток при $T_h$):
${\mathrm{COP}}_{\text{Carnot,hp}}=\frac{T_h}{T_h-T_c}$.
(Все температуры в К; это следствие второго закона: при обратимом цикле энтропия не создаётся.)
Учет реальных необратимостей через энтропию (общая формула)
- Второй закон для рабочего цикла в стационарном режиме:
${\dot{S}}_{\text{gen}}=\frac{{\dot{Q}}_H}{T_h}-\frac{{\dot{Q}}_L}{T_c}$.
- Энергетический баланс: $\dot{W}={\dot{Q}}_H-{\dot{Q}}_L$.
Отсюда выражение для реального COP холодильника с учётом ненулевой генерации энтропии:
$\dot{W}={\dot{Q}}_L(\frac{T_h}{T_c}-1)+T_h{\dot{S}}_{\text{gen}}$,
${\mathrm{COP}}_{\text{real}}=\frac{{\dot{Q}}_L}{\dot{W}}=\frac{1}{\frac{T_h}{T_c}-1+\frac{T_h{\dot{S}}_{\text{gen}}}{{\dot{Q}}_L}}=\frac{T_c}{T_h-T_c+\frac{T_c{T}_h{\dot{S}}_{\text{gen}}}{{\dot{Q}}_L}}$.
Таким образом любое добавочное ${\dot{S}}_{\text{gen}}>0$ снижает COP относительно Карно.
Главные реальные факторы и как их количественно включить
1) Нисходящий КПД компрессора / трение (механические необратимости)
- Модель: изоэнтропная эффективность компрессора ${\eta }_s$. Для массового расхода $\dot{m}$:
${\dot{W}}_{\text{comp,act}}=\frac{\dot{m}(h_{2s}-h_1)}{{\eta }_s}$, где $h_{2s}$ — энтальпия после идеального изоэнтропного сжатия. Разность ${\dot{W}}_{\text{comp,act}}-\dot{m}(h_{2s}-h_1)$ входит в ${\dot{E}}_{\text{d}}$ и через неё в ${\dot{S}}_{\text{gen}}$.
2) Теплопередача через конечный тепловой поток (конечный ΔT → тепловые необратимости)
- Для теплообменника с коэффициентом теплопередачи $UA$: $\dot{Q}=UA\Delta T_{\text{lm}}$, где $\Delta T_{\text{lm}}=\frac{\Delta T_1-\Delta T_2}{\ln (\Delta T_1/\Delta T_2)}$.
- Энтропия, создаваемая при передаче $\dot{Q}$ между температурами $T_h^{\ast }$ и $T_c^{\ast }$:
${\dot{S}}_{\text{gen,ht}}=\dot{Q}(\frac{1}{T_c^{\ast }}-\frac{1}{T_h^{\ast }})$. Для малых $\Delta T$ можно приближённо: ${\dot{S}}_{\text{gen,ht}}\approx \dot{Q}\frac{\Delta T}{T_m^2}$.
3) Давление и потери в трубопроводах (гидравлические потери)
- Потери давления $\Delta p$ требуют доп. насосной/компрессорной работы ${\dot{W}}_{\text{fric}}\approx \dot{V}\Delta p$ или включаются в снижение массового расхода; эта работа идёт в тепло (увеличивает ${\dot{S}}_{\text{gen}}$).
4) Утечки и смешение (массовые потери и утечка хладагента)
- Модель: доля утечки $\alpha$ → эффективный холодопроизводительность ${\dot{Q}}_L^{\text{eff}}=(1-\alpha ){\dot{Q}}_L$; при утечках часто требуется доп. подкачка/перекачка, увеличивается $\dot{W}$.
5) Недоминирование теплообменника (конечный NTU) — метод NTU/ε
- Определение: $NTU=\frac{UA}{C_{\min }}$, $C_i={\dot{m}}_i{c}_{p,i}$, $C=\frac{C_{\min }}{C_{\max }}$.
- Эффективность для counterflow:
$ϵ=\frac{1-\exp [-NTU(1-C)]}{1-C\exp [-NTU(1-C)]}$.
Для $C=1$: $ϵ=\frac{NTU}{1+NTU}$.
- Тогда $\dot{Q}=ϵC_{\min }(T_{h,in}-T_{c,in})$. Низкая $ϵ$ уменьшает ${\dot{Q}}_L$ и повышает относительную долю необратимостей.
6) Фазовые явления, недопущение идеального теплообмена (градусные потери при кипении/конденсации)
- Модельируются через локальные тепловые сопротивления и температурные перепады на интерфейсах → увеличивают $\Delta T_{\text{lm}}$ и ${\dot{S}}_{\text{gen}}$.
Количественный алгоритм расчёта реальной эффективности
1. Для каждого компонента (компрессор, конденсатор, испаритель, трубопроводы) составить энергетический баланс и второе начало → найти ${\dot{S}}_{\text{gen},i}$. Примеры формул:
- Компрессор: ${\dot{S}}_{\text{gen,comp}}=\frac{{\dot{W}}_{\text{act}}-{\dot{W}}_{\text{rev}}}{T_0}$ (приблизительно) или через реальные и идеальные энтальпии.
- Теплообменник (с заданными температурами потоков):
${\dot{S}}_{\text{gen,hex}}={\dot{m}}_h{c}_{p,h}\ln \frac{T_{h,out}}{T_{h,in}}+{\dot{m}}_c{c}_{p,c}\ln \frac{T_{c,out}}{T_{c,in}}$.
2. Суммировать: ${\dot{S}}_{\text{gen}}=\sum _i{\dot{S}}_{\text{gen},i}$.
3. Подставить в общую формулу COP (или в формулу COP теплового насоса) через найденную ${\dot{S}}_{\text{gen}}$:
${\mathrm{COP}}_{\text{real}}=\frac{T_c}{T_h-T_c+\frac{T_c{T}_h{\dot{S}}_{\text{gen}}}{{\dot{Q}}_L}}$.
Альтернативный практический подход: разбить необратимости на эксергетические потери и учесть их как дополнительные «встроенные» работы/потери:
- Компрессор: учесть ${\eta }_s$ → повысит $\dot{W}$.
- Теплообменники: через $UA$ и NTU → уменьшат ${\dot{Q}}_L$.
- Давление/утечки: прямое добавление потерь к работе/уменьшение ${\dot{Q}}_L$.
Краткое резюме
- Карно даёт верхнюю границу: ${\mathrm{COP}}_{\text{Carnot,ref}}=\frac{T_c}{T_h-T_c}$.
- Любая генерация энтропии (${\dot{S}}_{\text{gen}}>0$) снижает реальный COP согласно формуле через ${\dot{S}}_{\text{gen}}$.
- Реальные источники необратимостей: конечная теплопередача (UA, NTU, ε), эффективность компрессора/трение, гидравлические потери, утечки, фазовые и конструктивные ограничения — все их можно включить количественно через модели (η_s, UA→NTU→ε, дополнительные работы/потери и расчёт ${\dot{S}}_{\text{gen}}$).