Кратко — ключные положения и формулы.
1) Что действует на заряд в движущемся проводнике.
- Сила на заряд $q$ в проводнике, движущемся со скоростью $\mathbf{v}$ в магнитном поле $\mathbf{B}$, даётся лоренцевой силой $q(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times \mathbf{B})$. В локальной системе проводника эффективное поле, приводящее ток, равно
${\mathbf{E}}^{\prime }=\mathbf{E}+\mathbf{v}\times \mathbf{B}.$
2) ЭДС вдоль проводника (мотиональная ЭДС).
- ЭДС вдоль замкнутого/незамкнутого пути $\mathcal{C}(t)$ с учётом движения рассчитывается как линейный интеграл силы на единичный заряд:
$$\mathcal{E}={\oint }_{\mathcal{C}(t)}(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times \mathbf{B})\cdot d\mathbf{l}.$$ - В простом случае, когда в лабораторной системе $\mathbf{E}=0$, получаем мотиональную ЭДС
$$\mathcal{E}={\oint }_{\mathcal{C}(t)}(\mathbf{v}\times \mathbf{B})\cdot d\mathbf{l}.$$
3) Зависимость напряжения.
- Напряжение зависит локально от величины и направления $\mathbf{B}$ и от локальной скорости $\mathbf{v}$ вдоль того участка цепи, по которому течёт ток. Для неоднородного поля вклад каждого участка определяется интегралом $(\mathbf{v}\times \mathbf{B})\cdot d\mathbf{l}$; следовательно, изменения в геометрии пути тока или в распределении поля меняют итоговую ЭДС.
- Пример (гомополюсный диск, осевой $B$, диск вращается с угловой скоростью $\omega$): радиальная линия от центра до радиуса $R$ движется со скоростью $\mathbf{v}=\omega r\hat{\mathbf{\theta }}$, поэтому ЭДС между центром и ободом
$$\mathcal{E}={\int }_0^R(\mathbf{v}\times \mathbf{B})\cdot d\mathbf{l}={\int }_0^R\omega rBdr=\frac{1}{2}\omega B{R}^2,$$ при однородном осевом $B$.
4) Почему путь тока важен (и соглашение о контуре).
- Напряжение между двумя точками зависит от выбранного пути интегрирования, т.к. одни участки могут проходить через область магнитного поля, а другие — нет. В реальной схеме нужно явно указать замыкание тока (петлю): ЭДС даётся интегралом по этой замкнутой петле. В версиях закона Фарадея для подвижных контуров корректная общая запись:
$${\oint }_{\mathcal{C}(t)}(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times \mathbf{B})\cdot d\mathbf{l}=-\frac{d}{dt}{\int }_{S(t)}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{S},$$ где $S(t)$ — поверхность, огибаемая $\mathcal{C}(t)$.
5) Роль векторного потенциала и почему он удобен.
- Векторный потенциал $\mathbf{A}$ задаёт $\mathbf{B}=\nabla \times \mathbf{A}$, электркое поле выражается как
$$\mathbf{E}=-\nabla \varphi -{\partial }_t\mathbf{A}.$$ - Для фиксированного контура тогда
$$\mathcal{E}=-{\oint }_{\mathcal{C}}{\partial }_t\mathbf{A}\cdot d\mathbf{l},$$ то есть ЭДС напрямую связана с изменением $\mathbf{A}$ вдоль контура. В случаях, подобных гомополюсному генератору, поток через некоторые условные поверхности может формально не меняться при вращении, и тогда выражение через поток $-d\Phi /dt$ кажется противоречивым. Векторный потенциал снимает эту неоднозначность: при движении проводника меняется распределение $\mathbf{A}$ вдоль подвижной цепи (или появляется вклад $\mathbf{v}\times \mathbf{B}$), поэтому вычисление через $\mathbf{A}$ даёт однозначный локальный вклад к ЭДС.
- Кроме того, использование $\mathbf{A}$ избавляет от проблемы выбора поверхности $S(t)$ (в выражении потока) и делает явным, где именно в цепи возбуждается ЭДС (локальные изменения $\mathbf{A}$ вдоль проводников).
6) Вывод (схематично).
- ЭДС в движущемся проводнике определяется локальными величинами $\mathbf{v}$ и $\mathbf{B}$ вдоль фактического пути тока: используйте интеграл $\oint (\mathbf{E}+\mathbf{v}\times \mathbf{B})\cdot d\mathbf{l}$.
- Путь тока обязателен для корректного подсчёта, особенно при неоднородном $\mathbf{B}$ и подвижных контактах.
- Векторный потенциал удобен тем, что локализует причину ЭДС и убирает неоднозначности, связанные с выбором поверхности и «парадоксальными» случаями (например, гомополюсный диск).