Кратко — квантовое туннелирование даёт экспоненциально чувствительную к толщине и высоте барьера вероятность прохождения частиц через классически запрещённую область; это ключевой рабочий механизм в туннельных диодах, транзисторах с тонкими барьерами и в туннелировании через квантовые точки. Ниже — формулы, численные оценки и влияние на характеристики при комнатной температуре.
1) Зависимость вероятности туннелирования
- WKB-приближение (произвольный барьер): $T\approx \exp (-2{\int }_{x_1}^{x_2}\kappa (x)dx)$, где $\kappa (x)=\frac{\sqrt{2m(V(x)-E)}}{\hslash }$.
- Простейший прямоугольный барьер высотой $V_0$ и шириной $a$: $T\approx \exp (-2\kappa a),\kappa =\frac{\sqrt{2m^{\ast }(V_0-E)}}{\hslash }$.
Это даёт экспоненциальную зависимость от ширины $a$ и от $\sqrt{V_0-E}$.
- Для наклонного (треугольного) барьера при сильном поле (Fowler–Nordheim) приблизительно: $T\sim \exp (-\frac{4\sqrt{2m^{\ast }}}{3\hslash qE}(V_0{)}^{3/2})$, где $E$ — поле.
- Пример чувствительности: для $m^{\ast }=0.2m_e$, $V_0-E\approx 1\text{eV}$:
$\kappa \sim 7\times 10^9{\text{m}}^{-1}$. Тогда при $a=2\text{nm}$ фактор в экспоненте $2\kappa a\sim 29$ и $T\sim e^{-29}\sim 2\times 10^{-13}$; при $a=1\text{nm}$ $2\kappa a\sim 14.5$ и $T\sim e^{-14.5}\sim 5\times 10^{-7}$. То есть уменьшение толщины вдвое увеличивает $T$ на многие порядки.
2) Влияние на характеристики приборов при комнатной температуре ($k_{B}T\approx 25\text{meV}$)
- Туннельные (Esaki) диоды и резонансные туннельные диоды (RTD):
- Механизм: наличие узкой зоны туннелирования (тонкая деплеционная зона / квантовый туннельный барьер) даёт большой туннельный ток и эффект отрицательного дифференциального сопротивления (NDR) при выравнивании энергетических состояний.
- Температурное влияние: тепловое флуктуативное выравнивание Ферми-функций и фонон-ассистированный туннелирование размывают пиковые резонансы, уменьшают отношение пик/падение (PVR). Однако при правильно выбранных параметрах барьера и высокой плотности состояний NDR может сохраняться при $300$ K.
- Транзисторы с тонкими барьерами (MOSFET с тонким оксидом, TFET, ультракоротканальные каналы):
- Прямое туннелирование сквозь диэлектрик (gate leakage): для оксидов толщиной $\lesssim$ 2–3 nm прямое туннелирование становится существенным и даёт постоянный утечный ток; ток экспоненциально зависит от толщины оксида и высоты барьера.
- TFET (band-to-band tunneling): позволяет теоретически достичь порога субпорогного наклона меньше $60\text{mV/dec}$ за счёт не-термической природы переключения. На практике при комнатной температуре фонон-ассистированное туннелирование и термальная утечка ухудшают эффективность, а слабое поле или плохая конфигурация барьера сильно снижают ток насыщения.
- Короткие каналы: при масштабировании каналов туннелирование между истоком и стоком даёт значительную утечку, что ограничивает дальнейшее уменьшение размеров.
- Квантовые точки и одно-электронные устройства:
- Туннелирование контролирует скорость обмена электронов между точкой и контактами; характерны уровни шириной $\hslash \Gamma$, где $\Gamma$ — туннельная скорость (зависит от $T$).
- Для наблюдения кулоновской преграды при $T=300\text{K}$ зарядовая энергия должна удовлетворять $E_C=e^2/(2C)\gg k_{B}T\approx 25\text{meV}$, что требует чрезвычайно малой ёмкости (и, значит, точек размеров единиц нм). Если $\hslash \Gamma \gtrsim k_{B}T$, уровни будут термически и туннельно расширены, что стирает резкие одноэлектронные эффекты.
- Фонон- и термопомощенное туннелирование увеличивают токы и размывают пики проводимости при комнатной температуре.
3) Практические следствия и ограничения
- Экспоненциальная чувствительность к $a$ и $V_0$ требует атомарного контроля толщины и химии интерфейсов; малые вариации (несколько Å) дают большие изменения токов.
- Для уменьшения утечек приходится выбирать материалы с большим $V_0$ (например, high-k диэлектрики с толще физического слоя) или снижать эффективную массу; но это влияет на скорость/ёмкость устройства.
- Туннелирование — одновременно инструмент (TFET, RTD, быстрые переключатели) и проблема (утечки в MOSFET, потеря контрастности в квантовых элементах при $300$ K). Достижение полезных одноэлектронных эффектов при комнатной температуре требует наноразмерных структур и очень точного управления туннельными барьерами.
Краткий итог: вероятность туннелирования экспоненциально зависит от ширины $a$ и корня из высоты барьера $\sqrt{V_0-E}$ (WKB), что делает туннельные токи чрезвычайно чувствительными к наномасштабным изменениям геометрии и материалов. При комнатной температуре тепловая ширина состояний ($\sim 25\text{meV}$) и фонон-ассистированные процессы размывают квантовые особенности, одновременно делая туннелирование источником как полезных эффектов (низковольтные устройства), так и вредных утечек.