Коротко и по делу — три части: уравнение движения, определения эффективного демпфирования, как экспериментально разделить вклад вязкого трения и аэродинамики.
1) Модификация уравнения движения
- Для плоского маятника (малые углы) обычное линейное уравнение $I\ddot{\theta }+c\dot{\theta }+k\theta =0$ дополняется: (i) нелинейной (обычно квадратичной) аэродинамической силой, (ii) вязкой линейной составляющей, зависящей от местной вязкости, (iii) добавочной массой/инерцией и при необходимости исторической (Basset) силой для нестационарной вязкой среды. Пример компактной формы:
$$(I+I_a)\ddot{\theta }+c_v(\mathbf{x},t)\dot{\theta }+k\theta +c_q|\dot{\theta }|\dot{\theta }+F_B[\dot{\theta }]=0,$$ где
- $I$ — момент инерции маятника, $I_a$ — добавочный момент инерции (зависит от $\rho$ и геометрии),
- $c_v$ — линейный вязкий коэффициент (зависит от $\mu (\mathbf{x},t)$),
- $c_q$ — коэффициент квадратичного (динамического) сопротивления; для малого угла, при скорости острия $v\simeq L\dot{\theta }$,
$${\tau }_{drag}^{(quad)}\simeq -\frac{1}{2}\rho C_{D}A{L}^2|\dot{\theta }|\dot{\theta },$$ (соответственно $c_q=\frac{1}{2}\rho C_{D}A{L}^2$). Basset‑term (исторический) для шарика — пример:
$$F_B\propto -\sqrt{\rho \mu }{\int }_0^t\frac{\dot{U}(\tau )}{\sqrt{t-\tau }}d\tau ,$$ аналогичная форма — для других геометрий требует модификации.
2) Определения эффективного демпфирования (что можно измерять)
- Экспоненциальный затухающий коэффициент $\gamma$ при линейной вязкой: амплитуда $A(t)=A_0{e}^{-\gamma t}$. Тогда эквивалентный линейный коэффициент:
$$c_{\mathrm{eff}}=2(I+I_a)\gamma .$$ - Логарифмический декремент: $\delta =\ln \frac{A_n}{A_{n+1}}=\gamma T$, где $T$ — период.
- Добротность: $Q=\frac{{\omega }_0}{2\gamma }$, ${\omega }_0=\sqrt{k/(I+I_a)}$.
- Для нелинейного (квадратичного) демпфирования вводят амплитудозависимое $c_{\mathrm{eff}}(A)$ или используют энерго‑подход: потеря энергии за цикл $\Delta E(A)$. Эквивалентный линейный коэффициент через энергию:
$$c_{eq}(A)=\frac{\Delta E(A)}{\pi \omega A^2}.$$ Эта величина позволяет сравнивать нелинейный и линейный вклад на заданной амплитуде.
3) Как экспериментально отделить вклад вязкого трения от аэродинамических сил — практический план
- Оцените режим потока по числу Рейнольдса $\mathrm{Re}=\frac{\rho vL}{\mu }$. При $\mathrm{Re}\ll 1$ ожидать линейного (Стокса) сопротивления; при больших $\mathrm{Re}$ — квадратичного.
- Малые амплитуды / низкие скорости: измерьте затухание — там линейная вязкая составляющая выражена сильнее (получите $\gamma$ и $c_v$).
- Большие амплитуды: амплитудозависимое затухание укажет на квадратичную аэродинамику — подгонка по зависимости $\dot{A}=-\alpha A-\beta A^2$ (из среднеквадратичной энергии) позволяет оценить $\alpha$ (линейная) и $\beta$ (квадратичная).
- Вакуумный/разрежённый воздух: провести измерение в низкой плотности для «отключения» аэродинамической составляющей (квадратичная и добавочная масса зависят от $\rho$); разностью с атмосферным результатом отделяете эффект аэродинамики.
- Изменение вязкости при постоянной плотности: нагрев/охлаждение или разные газы/жидкости — линейный viscous term масштабируется с $\mu$, аэродинамика (давление) — с $\rho$. Комбинируя изменения $\mu$ и $\rho$ можно декомпозировать вклады.
- Форсированный гармонический отклик: подачей синусоидального момента на частотах близко к резонансу измеряйте амплитудно-фазовую характеристику. Линейная вязкость даёт частотно‑независимое демпфирование (в частотном домене комплексная проводимость), квадратичная — генерирует гармоники и амплитудно‑зависимую амплитуду/фазу.
- Анализ потерь энергии за цикл: измерьте энергию до/после цикла, постройте зависимость $\Delta E$ от амплитуды $A$. Для квадратичного сопротивления $\Delta E\propto A^3$ (приближенно), для линейного $\Delta E\propto A^2$.
- Прямое измерение сил/моментов: датчик момента в подвесе или силовой элемент в шарнире даёт временной профиль силы, который можно проанализировать на наличие $v$‑ и $v|v|$‑зависимостей.
- ПВР/CFD: визуализация потока (PIV) и численное моделирование позволяет оценить давление/инерционные силы отдельно от вязких касательных.
- Геометрические тесты: меняйте характерную площадь/толщину маятника — аэродинамический $C_{D}A$ изменится явно, линейная вязкость (в приближении Stokes) другой зависимости; сравнение трендов помогает разделить вклады.
Короткая диагностическая последовательность (рекомендуемая):
1. Измерьте свободное затухание при малых $A$ — получите $c_v$ через $\gamma$ (лог. декремент).
2. Повышайте амплитуду, измеряйте амплитудную зависимость затухания — подгоните модель $\dot{A}=-\alpha A-\beta A^2$ → выделите $\alpha ,\beta$.
3. Повторите при пониженном давлении / других газах или температуре для проверки скейлингов по $\rho$ и $\mu$.
4. (При необходимости) подтвердите результат прямым измерением момента и/или CFD/PIV.
Если нужно, могу привести выводы для конкретной геометрии (плоский пластинчатый маятник) с явными выражениями для $I_a$, $c_v$, $c_q$ и уравнением, пригодным для подгонки экспериментальных данных.