Кратко — затем по сути.
1) Что излучает и сколько. При ускоренном движении заряда часть энергии уходит в свободные (далёкие) электромагнитные волны. Для немр. случаев формула Лармора (в СИ)
$$P_{\mathrm{rad}}=\frac{q^2{a}^2}{6\pi {\epsilon }_0{c}^3},$$ а в релятивистском виде (Льенар)
$$P_{\mathrm{rad}}=\frac{q^2}{6\pi {\epsilon }_0{c}^3}{\gamma }^6({\dot{\mathbf{v}}}^2-\frac{(\mathbf{v}\times \dot{\mathbf{v}}{)}^2}{c^2}).$$
2) Энергия поля и баланс (Poynting). Из теоремы Пойнтинга поток энергии через большой сферический экран даёт радиируемую мощность $P_{\mathrm{rad}}$. Полная энергия поля разделяется на «связанную» (near, bound) и «излучаемую» (far) части. При изменении движения заряда связанная энергия может меняться и отдавать/брать энергию у частицы — это Schott‑вклад. В итоге мгновенный баланс работы силы реакции и радиируемой мощности выражается в немр. случае как
$${\mathbf{F}}_{\mathrm{rad}}\cdot \mathbf{v}=\frac{q^2}{6\pi {\epsilon }_0{c}^3}\dot{\mathbf{a}}\cdot \mathbf{v}=-P_{\mathrm{rad}}+\frac{d}{dt}\left(\frac{q^2}{6\pi {\epsilon }_0{c}^3}\mathbf{a}\cdot \mathbf{v}\right),$$ то есть работа силы реакции не равна просто $-P_{\mathrm{rad}}$ из‑за производной Schott‑энергии.
3) Сила радиационной реакции — классические уравнения. В невр. приближении абраам‑лоренц:
$$m\mathbf{a}={\mathbf{F}}_{\mathrm{ext}}+{\mathbf{F}}_{\mathrm{rad}},{\mathbf{F}}_{\mathrm{rad}}=\frac{q^2}{6\pi {\epsilon }_0{c}^3}\dot{\mathbf{a}}.$$ Релятивистский обобщённый Абрахама–Лоренца–Дирака (LAD) содержит второй по времени производной четыревектора скорости (см. термины вида ${\ddot{u}}^{\mu }$ и проекции на орт. к 4‑скорости).
4) Трудности при включении реакции в полную динамику:
- уравнение третьего порядка по времени даёт нежелательные «бегающие» (runaway) решения с экспоненциальным разгонem без внешних сил;
- предускорение (pre-acceleration): частица начинает ускоряться до включения внешней силы, что кажется антикаузальным;
- сингулярная самостоимость точечного заряда: энергия собственного поля расходится при $r\to 0$, требуется «ренормировка массы» (введение бесконечно отрицательной «внутренней» массы), что делает классическую модель некорректной на малых масштабах;
- несоответствие энергобаланса на малых временных/пространственных масштабах из‑за обмена с bound‑полем (Schott) и невозможность разделить поле однозначно для точечного заряда.
5) Как с этим справляются на практике:
- считать уравнение как эффективное при малом параметре $\tau$ и применять метод «reduction of order» (Ландау–Лифшиц): подставляют в $\dot{\mathbf{a}}$ производную от внешней силы, получают второго порядка уравнение без runaway и предускорения. Формула Ландау–Лифшица совпадает по порядку с LAD, но физически корректна для медленных изменений.
- моделировать заряд как распределённый (конечный радиус), тогда самодействие конечное, но возникают вопросы о внутренней структуре и жёсткости;
- трёхтелесные альтернативы: теория поглотителей Вилера–Фейнмана, другие интерпретации, но они не дают универсального классического решения.
- на фундаментальном уровне — перейти к квантовой теории поля (QED): излучение квантовано, рассеяние и саморасположение лечатся через ренормировку; классическая модель теряет смысл на масштабах порядка классического радиуса электрона
$$r_e=\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_{0}m{c}^2}\approx 2.82\times 10^{-15}\mathrm{m},$$ и времени
$$\tau =\frac{e^2}{6\pi {\epsilon }_{0}m{c}^3}\approx 6.3\times 10^{-24}\mathrm{s}.$$
6) Итог (коротко). Теорема Лармора/Льенара даёт количество излучаемой энергии; излучение связано с изменением энергии поля и приводит к силе реакции. Прямая включённая классическая реакция даёт формально некорректные эффекты (runaway, pre‑acceleration, дивергенции), поэтому в прикладных задачах используют приближённую (Ландау–Лифшиц) форму или переходят к моделям с конечным размером/квантовой теории для полного и последовательного описания.