Коротко по цепочке причин и следствий, потом — важные шкалы и практические выводы.
1) Основные уравнения (локально)
- Плотность тока: $J=\frac{I}{S}$.
- Объёмная скорость выделения тепла (Джоуля): $$p(\mathbf{r},t)=\varrho (T)J^2(\mathbf{r},t)$$ где $\varrho (T)$ — удельное сопротивление (металл: $\varrho$ растёт с $T$).
- Уравнение теплопереноса: $${\rho }_m{c}_p\frac{\partial T}{\partial t}=\nabla \cdot (k(T)\nabla T)+p(\mathbf{r},t)-q_{\mathrm{loss}}(\mathbf{r},t),$$ где ${\rho }_m$ — плотность материала, $c_p$ — теплоёмкость, $k(T)$ — теплопроводность, $q_{\mathrm{loss}}$ — отвод тепла к среде (конвекция/излучение/контакты).
2) Причинно‑следственные связи (сжатая схема)
- Большой $J$ → большая генерация $p=\varrho J^2$ → рост $T$.
- Рост $T$ → увеличение $\varrho (T)$ (для меди приближённо $\varrho (T)={\varrho }_0[1+\alpha (T-T_0)]$) → при фиксированном $J$ ещё больше $p$ (положительная петля). При фиксованном напряжении $V$ возрастание $\varrho$ снижает $I$ и $J$ (отрицательная обратная связь): важно указать граничное условие (фиксированный $I$ vs фиксированный $V$).
- Рост $T$ обычно уменьшает $k(T)$ у металлов незначительно, что ухудшает отвод тепла и усиливает нагрев (доп. положительная петля, но слабее).
- Отвод в окружающую среду определяется коэффициентом теплообмена $h$ и излучением $ϵ{\sigma }_{\mathrm{SB}}$; больше $h$ или принудительная конвекция — сильнее охлаждение, ниже установившаяся $T$.
3) Линейная приближённая модель температурной зависимости сопротивления
- $\varrho (T)\approx {\varrho }_0[1+\alpha (T-T_0)]$, $R=\varrho (T)L/S$.
4) Условие стационарности и устойчивости
- В стационаре генерируемая и отводимая мощности равны: на единицу объёма $\varrho J^2=$ (отвод/объём). Для цилиндрического провода с почти однородной температурой поперечного сечения приближённо: $$T-T_{\mathrm{amb}}\approx \frac{\varrho J^{2}A}{hP}$$ где $A$ — поперечная площадь, $P$ — периметр (для круга $A=\pi a^2,P=2\pi a$).
- Устойчивость против термического разгону: при фиксированном $I$ требуется $$J^2\frac{d\varrho }{dT}<\frac{hP}{A}+4ϵ{\sigma }_{\mathrm{SB}}{T}^3\frac{P}{A}.$$
5) Временные и пространственные шкалы
- Тепловая диффузия: ${\alpha }_{th}=\frac{k}{{\rho }_m{c}_p}$.
- Время установления поперечного (радиального) профиля: ${\tau }_r\sim a^2/{\alpha }_{th}$ (где $a$ — радиус провода). Для меди: $k\approx 400W/mK,{\rho }_m{c}_p\approx 3.45\times 10^{6}J/({\mathrm{m}}^3\mathrm{K})$, ${\alpha }_{th}\approx 1.16\times 10^{-4}{\mathrm{m}}^2/s$. Для $a=1\mathrm{mm}$ получается ${\tau }_r\sim 8\times 10^{-3}\mathrm{s}$ (мс—с).
- Время установления вдоль длины $L$: ${\tau }_L\sim L^2/{\alpha }_{th}$ (для метра — часы).
- Время отведения тепла через конвекцию: ${\tau }_h\sim \frac{{\rho }_m{c}_{p}V}{h{A}_s}$. Для цилиндра это даёт порядок ${\tau }_h\sim {\rho }_m{c}_p\frac{a}{2h}$ — часто десятки-сотни секунд для тонкой проволоки при естественной конвекции.
- Вывод: радиальная температура выравнивается очень быстро; установившийся профиль относительно окружения (равновесие генерация↔охлаждение) достигается за время порядка ${\tau }_h$ и/или ${\tau }_L$ (в зависимости от размеров и условий охлаждения).
6) Пространственные профили
- Если Biot число $Bi=\frac{ha}{k}\ll 1$, то поперечная температура почти однородна (типично для тонких медных проводов и естественной конвекции).
- При больших длинах/неоднородном охлаждении возникают продольные градиенты: стационарный 1D баланс даёт уравнение $-kA\frac{d^{2}T}{d{x}^2}+pA-hP(T-T_{\mathrm{amb}})=0$.
7) Влияние на выбор материала и размеров (практические правила)
- Чтобы снизить нагрев при данном токе $I$: увеличивают сечение $S$ (потому что $J=I/S$ и $p\propto \rho (I/S{)}^2$). Для заданной длины полная тепловая мощность $\propto I^2\rho /S$.
- Для минимизации падения напряжения и потерь выбирают материалы с малой $\varrho$ (медь, серебро). Для хорошего распределения тепла — большой $k$ (медь хороша).
- Если проволока должна работать горячей (нагреватели), выбирают материал с высокой $\varrho$ и стабильной температурной зависимостью (никром).
- Для предотвращения теплового разгона: выбирают достаточный запас сечения, хорошие охлаждающие условия (увеличить $h$ — обдув), материалы с меньшим температурным коэффициентом $\alpha$ или схемы ограничения тока/напряжения.
- Размеры и допуски рассчитывают, используя уравнение баланса и требуемое допустимое повышение температуры $\Delta T$: из приближённой формулы $\Delta T\approx \frac{\varrho (I/S{)}^{2}A}{hP}$ находят минимальное $S$.
- Важны контакты: контактное сопротивление и теплопроводность в местах зажима часто лимитируют и могут локально перегревать.
8) Нюансы и практические оценки
- Для медных проводов тонкие провода быстро достигают однородной по сечению температуры, но время обмена с воздушной средой может быть десятки-сотни секунд.
- При проекте электрических линий используют нормативы по максимально допустимой плотности тока $J_{\max }$ для заданного режима (короткое замыкание, длительный режим) с учётом охлаждения и предельной температуры изоляции.
- Термический разгон вероятен при фиксированном токе и плохом отводе: контролируйте $d\varrho /dT$ и $h$.
Если нужно, могу дать компактную формулу для стационарного перепада температуры цилиндрического провода или привести численные примеры (для заданного $I,S,L,h$).