Кратко физика, формулы и практические выводы.
1) Механизм образования вихревых токов
Перемещение сильного постоянного магнита вдоль проводящей пластины меняет магнитный поток через замкнутые контуры в пластине. По закону Фарадея индуцируется ЭДС $\mathcal{E}=-\frac{d\Phi }{dt}$, токи образуют замкнутые «вихревые» (eddy) токи. По закону Ленца их магнитное поле направлено так, чтобы противодействовать изменению потока, т.е. создаёт силу, тормозящую движение магнита. Электрическая энергия этих токов рассеивается джоулевым теплом $P=\int J^2/\sigma dV$, где $\sigma$ — электропроводность пластины.
2) Простая модель оценки мощности рассеиваемой энергии
Аппроксимируем локальную область пластины замкнутым контуром площадью $A$ через который проходит поле магнитного диполя. При скорости $v$ изменение потока можно представить как $\frac{d\Phi }{dt}\approx vA\frac{dB}{dx}$. Тогда ЭДС
$$\mathcal{E}\approx vA\frac{dB}{dx}.$$ Если сопротивление соответствующего контура $R$, то рассеиваемая мощность
$$P=\frac{{\mathcal{E}}^2}{R}\approx \frac{v^2{A}^2{\left(\frac{dB}{dx}\right)}^2}{R}.$$ Тормозящая сила $F$ связана с мощностью как
$$F=\frac{P}{v}\approx \frac{v{A}^2{\left(\frac{dB}{dx}\right)}^2}{R}.$$ Оценка сопротивления контура: $R\sim \frac{\ell }{\sigma tw}$ (длина контура $\ell$, толщина пластины $t$, ширина проводящего «плеча» $w$). Подставляя,
$$F\sim v\sigma t\frac{A^2{\left(\frac{dB}{dx}\right)}^2}{\ell /w}.$$ Эта формула даёт порядок величины и демонстрирует основные зависимости ниже.
3) Точные расчёты и два режимa (тонкая/толстая пластина, скин‑эффект)
В реальной задаче нужно решать уравнения Максвелла. Важна глубина проникновения (скин‑глубина) $\delta$ при характерной частоте изменения поля $\omega$:
$$\delta =\sqrt{\frac{2}{\omega \mu \sigma }}.$$ Для движущегося магнита оценочная частота $\omega \sim v/L$, где $L$ — характерный поперечный размер поля. Следовательно
$$\delta \sim \sqrt{\frac{2L}{\mu \sigma v}}.$$ Два предельных режима:
- Тонкая пластина $t\ll \delta$: токи равномерно по толщине, эффективная площадь проводимости $\propto \sigma t$ ⇒ сила торможения масштабируется как
$$F\propto v\sigma t.$$ - Толстая пластина $t\gg \delta$: токи сосредоточены в слое толщиной $\delta$, эффективная проводящая толщина $\sim \delta$, поэтому
$$F\propto v\sigma \delta \propto v\sqrt{\sigma },$$ потому что $\delta \propto 1/\sqrt{\sigma }$. Иными словами, при росте $\sigma$ тормозящая сила растёт сначала линейно (пока $t<\delta$), затем медленнее и частично насыщается (пока $t>\delta$).
4) Преобразование кинетической энергии в тепло (общая формула)
Мощность превращения кинетической энергии в тепло равна работе тормозящей силы:
$$P(t)=F(v(t))v(t).$$ Полная энергия, переданная пластины за время от $t_0$ до $t_1$:
$$E_{\mathrm{heat}}={\int }_{t_0}^{t_1}P(t)dt={\int }_{t_0}^{t_1}F(v)vdt.$$ Если магнит останавливается и начальная кинетическая энергия была $E_k=\frac{1}{2}m{v}_0^2$, то при отсутствии других потерь при остановке все $E_k$ перейдут в тепло пластины и магнитa:
$$E_{\mathrm{heat}}=E_k=\frac{1}{2}m{v}_0^2.$$ Для экспериментальной оценки температуры пластины можно использовать
$$\Delta T=\frac{E_{\mathrm{heat}}}{c\rho V},$$ где $c$ — теплоёмкость материала, $\rho$ — плотность, $V$ — объём пластины, учитывая потери тепла в окружающую среду.
5) Пример порядковой оценки (модель «контур/петля»)
Пусть магнит даёт $dB/dx\sim 10^{2}T/m$ на характерном масштабе, площадь контура $A\sim 10^{-4}{\mathrm{m}}^2$ (радиус ~6 мм), скорость $v=1m/s$, длина контура $\ell \sim 0.04\mathrm{m}$, ширина тока $w\sim 0.01\mathrm{m}$, толщина $t=10^{-3}\mathrm{m}$, $\sigma =6\cdot 10^{7}S/m$ (медь). Тогда оценочно
$$\mathcal{E}\sim vA\frac{dB}{dx}\sim 1\cdot 10^{-4}\cdot 10^2=10^{-2}\mathrm{V},$$ $$R\sim \frac{\ell }{\sigma tw}\sim \frac{0.04}{6\cdot 10^7\cdot 10^{-3}\cdot 10^{-2}}\approx 6.7\cdot 10^{-5}\Omega ,$$ $$P\sim \frac{{\mathcal{E}}^2}{R}\sim \frac{(10^{-2}{)}^2}{6.7\cdot 10^{-5}}\sim 1.5\mathrm{W},$$ и тормозящая сила $F=P/v\sim 1.5\mathrm{N}$. Это даёт порядок величины: ватты мощности и ньютон‑уровень силы — достаточно, чтобы заметно тормозить лёгкий магнит. (Это оценка «порядка», точное число требует численного решения.)
6) Как усилить торможение
- Увеличить электропроводность $\sigma$ и/или толщину $t$ пластины до порядка скин‑глубины.
- Уменьшить зазор между магнитом и пластиной (сила быстро растёт при уменьшении расстояния).
- Увеличить магнитный момент магнита (больше $B$, больше $\frac{dB}{dx}$).
- Использовать многослойные проводящие пластины или толстую пластину (до насыщения по скин‑эффекту).
- Пример: железная подложка изменит распределение поля и может усилить эффект в некоторых конфигурациях.
7) Как подавить торможение
- Разорвать замкнутые пути для токов: сделать шлицы/прерывистые прорези/ламинаты (как в трансформаторных сердечниках) — это резко уменьшает вихревые токи.
- Использовать материал с низкой проводимостью (пластик, керамика) или покрытие из диэлектрика.
- Увеличить расстояние между магнитом и пластиной.
- Для минимизации нагрева в конструкциях выбирают тонкие ламинированные слои, перфорированные экраны или материалы с высокой удельной сопротивляемостью.
8) Практические замечания
- Для точного расчёта силы и распределения нагрева необходимо численное решение полной задачи Максвелла (метод конечных элементов, частотный анализ с учётом движения).
- В динамическом режиме (ускорения, гистерезис в ферромагнетике, режимы высокой скорости) поведение может усложняться: нелинейность, изменение $\omega$, скин‑эффект, тепловые изменения $\sigma (T)$.
Если нужно — могу сделать численный расчёт для конкретных чисел (размер магнита, магнитный поток/полевое распределение, масса магнита, параметры пластины: $\sigma ,t$, зазор), и дать точную оценку силы, мощности и изменения температуры.