Коротко — в неподвижной системе с постоянным ускорением подвеса маятник «чувствует» эффективное ускорение тяжести $g^{\prime }$, и собственная частота меняется через него; амплитуда при постоянном (стационарном) смещении меняется только как смещение равновесия, а не как размах колебаний (если ускорение не меняется резко).
Детали и формулы.
1) Вертикальное постоянное ускорение (лифтом вверх с ускорением $a$ — положительно):
- Эффективное ускорение: $g^{\prime }=g+a$ (при движении вниз: $g^{\prime }=g-a$).
- Период (малые углы): $T=2\pi \sqrt{\frac{\ell }{g^{\prime }}}$.
- Для малого $a\ll g$: $T\approx T_0(1-\frac{a}{2g}),T_0=2\pi \sqrt{\frac{\ell }{g}}$.
- Амплитуда угловых колебаний относительно нового равновесия не меняется при постоянном $a$; при внезапном изменении $a$ может возникнуть дополнительная возбуждённая амплитуда.
2) Горизонтальное постоянное ускорение $a_h$:
- Равновесный угол отклонения: ${\theta }_0=\arctan \frac{a_h}{g}$.
- Модуль эффективного ускорения: $g^{\prime }=\sqrt{g^2+a_h^2}$.
- Период: $T=2\pi \sqrt{\frac{\ell }{g^{\prime }}}$.
- Для малого $a_h\ll g$ изменение периода вторичного порядка: $g^{\prime }\approx g(1+\frac{a_h^2}{2g^2})$, поэтому относительная поправка $\sim \frac{a_h^2}{2g^2}$ (обычно мала).
3) Влияние на измерение $g$:
- Маятник измеряет $g^{\prime }$, поэтому при неизвестном постоянном ускорении вы получите смещённое значение:
- вертикально: $g_{\mathrm{meas}}=g+a$ (ошибка $\Delta g=a$);
- горизонтально: $g_{\mathrm{meas}}=\sqrt{g^2+a_h^2}$ (ошибка ≈ $a_h^2/(2g)$ при малом $a_h$).
- Чувствительность периода: $\frac{\Delta T}{T}\approx -\frac{1}{2}\frac{\Delta g}{g}$. Следовательно даже небольшое вертикальное ускорение даёт заметную систематическую ошибку в $g$ (первый порядок), а горизонтальное — обычно сильно меньше (второй порядок).
- Практически: для точных измерений $g$ в лифте нужно знать и вычесть $a$, измерять в невозмущённом состоянии (стоп), либо использовать акселерометр.
Дополнение: для больших амплитуд период дополнительно зависит от амплитуды (эллиптическая поправка), но эта зависимость не связана с постоянным смещением подвеса, а добавляется к эффекту через $g^{\prime }$.