Краткий анализ условий возникновения и устойчивости Бозе–Эйнштейновского конденсата (БЭК) в оптической ловушке и влияния межчастичных взаимодействий и температуры.
1) Условия возникновения (критерий вырожденности)
- Для однородного газа критический критерий плотности/температуры:
$n{\lambda }_{dB}^3\gtrsim \zeta (3/2)\approx 2.612,{\lambda }_{dB}=\sqrt{\frac{2\pi {\hslash }^2}{m{k}_{B}T}}.$ - Для гармонической ловушки с геометрической средней частотой $\bar{\omega }=({\omega }_x{\omega }_y{\omega }_z{)}^{1/3}$ критическая температура идеального газа:
$k_B{T}_c=\hslash \bar{\omega }{\left(\frac{N}{\zeta (3)}\right)}^{1/3}.$ - Практически в оптической ловушке достижение $T<T_c$ реализуется испарительным охлаждением; для эффективности нужен достаточный коэффициент упругих столкновений ${\gamma }_{el}\sim n\sigma v$ (сечение при s‑волне $\sigma \approx 8\pi a^2$) и малые потери/нагрев (фоторассеяние, трехтелесные рекомбинации).
2) Основное уравнение и режимы
- В нулевом приближении осреднённые взаимодействия учитываются через непараболическое нелинейное уравнение Гросса–Питаевского:
$i\hslash \frac{\partial \psi }{\partial t}=\left(-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\nabla }^2+V(\mathbf{r})+g|\psi {|}^2\right)\psi ,g=\frac{4\pi {\hslash }^{2}a}{m}.$ - Для сильной репульсии ($Na/a_{ho}\gg 1$, $a_{ho}=\sqrt{\hslash /(m\omega )}$) действует приближение Томаса–Ферми: профиль плотности и радиус определяются балансом взаимодействий и внешнего потенциала. Химический потенциал (изотропный):
$\mu =\frac{1}{2}\hslash \omega {\left(\frac{15Na}{a_{ho}}\right)}^{2/5},R_{TF}=\sqrt{\frac{2\mu }{m{\omega }^2}}.$ - Для слабых взаимодействий профиль близок к основному модусу гармонического осциллятора.
3) Влияние межчастичных взаимодействий на устойчивость и свойства
- Репульсивные взаимодействия ($a>0$):
- Стабилизируют конденсат против коллапса, увеличивают радиус и уменьшают центральную плотность.
- Возникает звуковая линейка при малых $k$: спектр Боголюбова
$E_k=\sqrt{{ϵ}_k({ϵ}_k+2gn)},{ϵ}_k=\frac{{\hslash }^2{k}^2}{2m}.$ - Звук: $c=\sqrt{gn/m}$. Квантовая вырождение (depletion) мала и оценивается как $\sim (n{a}^3{)}^{1/2}$ (точно $\frac{8}{3\sqrt{\pi }}(n{a}^3{)}^{1/2}$).
- Привлекательные взаимодействия ($a<0$):
- Возможен коллапс выше критического числа частиц $N>N_c$. Для изотропной гармонической ловушки:
$N_c\approx 0.57\frac{a_{ho}}{|a|}.$ - При приближении к коллапсу растут плотностные флуктуации и трехтелесные потери, что приводит к быстрому распаду.
- Взаимодействия смещают критическую температуру и фракцию конденсата:
- Приближённый сдвиг $T_c$ пропорционален безразмерному параметру $a{n}^{1/3}$ (знак и коэффициент зависят от геометрии и корреляций); для типичных газов слабо положителен или отрицателен в малом порядке.
4) Влияние температуры (конденсированная и тепловая части)
- Фракция конденсата в идеальной гармонической ловушке (полуклассическая аппроксимация):
$\frac{N_0}{N}=1-{\left(\frac{T}{T_c}\right)}^3(T<T_c).$ - При конечной температуре есть тепловая «оболочка», взаимодействующая с конденсатом через среднее поле, что вызывает:
- Сдвиги химического потенциала, затухание и рассогласование коллективных мод.
- Тепловое истощение и дефицит когерентности: длина когерентности определяется ${\lambda }_{dB}$ и температурой.
- Термодинамическая устойчивость: при более высоких $T$ термальные флуктуации могут индуцировать нестабильность мод (взаимодействие тепловой части и конденсата), увеличивая вероятность локального коллапса в случае $a<0$.
5) Динамическая устойчивость и потери
- Критерии устойчивости зависят от баланса упругих столкновений (для термализации) и неупругих процессов:
- Трехтелесные потери $K_3$ сильно растут при больших $|a|$ (приближённо $K_3\propto a^4$ в некоторых регимах) — ограничивают плотность и время жизни.
- Нагрев от фоторассеяния в оптической ловушке уменьшает время жизни и поднимает эффективную температуру.
- При сильных взаимодействиях важны корректировки за пределами mean‑field: поправка Ли–Хуанга–Янг (LHY) может стабилизировать состояния (например, квантовые капли в смесях или дипольных газах).
6) Практические выводы для оптической ловушки
- Для образования устойчивого БЭК: достаточно низкая температура $T<T_c$, высокий коэффициент упругих столкновений для эффективного испарительного охлаждения, одновременно низкие неупругие потери и малый фотонагрев.
- Контроль взаимодействий (Feshbach‑резонансы) позволяет оптимизировать устойчивость: небольшой положительный $a$ — идеален для стабильности и длительной жизни; $a<0$ требует ограничения $N<N_c$.
- Геометрия ловушки (анизотропия, глубина) и размеры влияют на $T_c$, плотности и динамику колебаний, поэтому их выбирают с учётом компромисса между плотностью (быстрые столкновения) и потерями.
Коротко: БЭК в оптической ловушке возникает при квантовой вырожденности $n{\lambda }_{dB}^3\gtrsim 2.612$ (или $T<T_c$ в ловушке); межчастичные взаимодействия задают профиль, спектр и устойчивость (репульсия стабилизирует, привлечение ведёт к коллапсу при $N>N_c$); температура определяет долю конденсата, тепловую оболочку, демпинг и сдвиг критической температуры; практическая стабильность ограничена неупругими потерями и нагревом.