Коротко и по существу.
Почему так: в вакууме изменение электрического поля порождает магнитное поле и наоборот (последние два уравнения Максвелла), поэтому местная возмущённость самоподдерживающе распространяется как волна. Математически это вытекает из уравнений Максвелла в вакууме (нет зарядов и токов):
$$\nabla \cdot \mathbf{E}=0,\nabla \cdot \mathbf{B}=0,$$ $$\nabla \times \mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t},\nabla \times \mathbf{B}={\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}.$$
Взяв ротор от первого роторного уравнения и использовав тождество
$\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})=\nabla (\nabla \cdot \mathbf{E})-{\nabla }^2\mathbf{E}$ и $\nabla \cdot \mathbf{E}=0$, получаем волновое уравнение для $\mathbf{E}$:
$${\nabla }^2\mathbf{E}-{\mu }_0{\epsilon }_0\frac{{\partial }^2\mathbf{E}}{\partial t^2}=0.$$
Аналогично для $\mathbf{B}$. Это уравнение описывает распространение волн со скоростью
$$v=\frac{1}{\sqrt{{\mu }_0{\epsilon }_0}}.$$
Поэтому электромагнитные волны в вакууме распространяются с этой скоростью; экспериментально она совпадает со скоростью света, что исторически подтвердило тождество света и электромагнитных волн.
Как вывести и измерить численно:
- вычисление из измерений постоянных: измеряют вакуумную электрическую постоянную ${\epsilon }_0$ (через ёмкость параллельных пластин $C={\epsilon }_{0}A/d$) и магнитную ${\mu }_0$ (через силу между параллельными токами $F/L={\mu }_0{I}_1{I}_2/(2\pi r)$), затем берут
$$c=\frac{1}{\sqrt{{\mu }_0{\epsilon }_0}}.$$ - исторически: измерения отношения электромагнитных и электростатических единиц (Weber–Kohlrausch) дали значение, близкое к скорости света; позднее прямые измерения скорости света (методы Физо, Фуко, Майклсон — вращающееся зеркало, зубчатое колесо, интерферометр, затем лазерные и временные методы) уточнили значение.
- современно: в системе СИ скорость света в вакууме фиксирована точно
$$c=299792458m/s,$$ а ${\epsilon }_0$ и ${\mu }_0$ соотносятся через ${\epsilon }_0=1/({\mu }_0{c}^2)$. До пересмотра СИ 2019 г. значение ${\mu }_0=4\pi \times 10^{-7}N/{\mathrm{A}}^2$ считалось точным; после — $c$ определено точно, а ${\mu }_0$ измеряется.
Кратко: из уравнений Максвелла следует волновое уравнение с параметром ${\mu }_0{\epsilon }_0$, откуда скорость волн $1/\sqrt{{\mu }_0{\epsilon }_0}$; численно её получают либо через измерения ${\epsilon }_0,{\mu }_0$, либо прямыми экспериментальными методами времени/волнового числа.