Коротко и по делу: приведу аналитический вывод, разложение по амплитуде и цифровые методы + физический смысл нелинейности.
Уравнение маятника (без трения, длина $l$, ускорение свободного падения $g$):
$$\ddot{\theta }+\frac{g}{l}\sin \theta =0.$$
Аналитика (точное выражение через эллиптический интеграл). Из сохранения энергии при максимальном угле ${\theta }_0$:
$${\dot{\theta }}^2=\frac{2g}{l}(\cos \theta -\cos {\theta }_0).$$ Полный период через интеграл:
$$T=4\sqrt{\frac{l}{g}}{\int }_0^{{\theta }_0}\frac{d\theta }{\sqrt{2(\cos \theta -\cos {\theta }_0)}}.$$ После подстановок ($\theta =2\arcsin (k\sin \varphi )$, $k=\sin ({\theta }_0/2)$) получаем стандартную запись:
$$T=4\sqrt{\frac{l}{g}}K(k),k=\sin \frac{{\theta }_0}{2},$$ где $K(k)={\int }_0^{\pi /2}\frac{d\varphi }{\sqrt{1-k^2{\sin }^2\varphi }}$ — полный эллиптический интеграл 1-го рода. Для малых углов $k\ll 1$ возвращается классический период:
$$T_0=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}.$$
Разложение по амплитуде (асимптотика при малой ${\theta }_0$, радианы):
$$T\approx 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}\left(1+\frac{1}{16}{\theta }_0^2+\frac{11}{3072}{\theta }_0^4+\cdots \right).$$ Отсюда видно: при ненулевой амплитуде период увеличивается (ангармоничность).
Численный подходы:
- Вычислить $T$ напрямую через эллиптический интеграл (библиотеки: scipy.special.ellipk(k**2) или функции в MATLAB/Julia). Очень просто: $T=4\sqrt{l/g}K(k)$ с $k=\sin ({\theta }_0/2)$.
- Численно проинтегрировать исходный интеграл по $\theta$ (адаптивный Симпсон, Gauss–Legendre) для вычисления четверти периода.
- Интегрировать ОДУ методом RK4/Runge–Kutta (или встроенными степ-методами) и определять период по последовательным пересечениям состояния (например, $\theta =0$ с одинаковым направлением). Это полезно при добавлении трения или внешнего вынуждения.
Практические замечания:
- Для точности использовать радианы.
- При ${\theta }_0$ близком к $\pi$ константа $k\to 1$ и $K(k)$ логарифмически расходится — период растёт сильно (физически: требуется бесконечно большое время, чтобы с нулевой скоростью подняться до точно инвертированного положения).
- Малую-угловую аппроксимацию можно считать хорошей, если поправка мала: например при ${\theta }_0=0.2$ рад ($\approx 11.5^{\circ }$) коррекция порядка $0.25\%$; при ${\theta }_0\sim 0.5$ рад — уже $\sim 1.6\%$.
Физический смысл нелинейности:
- Восстановляющий момент равен $-mgl\sin \theta$, а линейная аппроксимация $-mgl\theta$ справедлива лишь для малых $\theta$. Синусовая нелинейность делает частоту (период) зависимой от амплитуды — маятник не является изохронным.
- Нелинейность даёт ангармоничность: форма колебаний содержит высшие гармоники, энергетическая зависимость частоты (фаза зависит от амплитуды), при вынуждении и диссипации может приводить к резонансам с сдвигом частоты, бифуркациям и в сложных системах — к хаосу.
- В практических приборах (часы, измерительные устройства) это ограничивает точность при больших отклонениях; в явлениях, где нужна большая амплитуда, нелинейность — существенный эффект, который следует учитывать численно или через эллиптические функции.
Короткий пример: для ${\theta }_0=\pi /2$ (90°) $k=\sin (\pi /4)=\frac{\sqrt{2}}{2}$, $K(k)\approx 1.8541$ и $T\approx 4\cdot 1.8541\sqrt{l/g}\approx 1.18T_0$ (т.е. период увеличивается на ~18%).
Это всё, что нужно для оценки периода и понимания физики нелинейного маятника.