Краткая схема восстановления и основные погрешности.
Как связаны измеряемые сдвиги полос и давление
- Измеряют поперечный профиль фазового сдвига вдоль луча (для хорд с параметром смещения $b$): $\Delta \Phi (b)=\frac{2\pi }{\lambda }{\int }_{-\infty }^{\infty }(n(\sqrt{b^2+z^2})-n_0)dz$, где $n_0$ — показатель окружающей среды, $\lambda$ — длина волны.
- Для маленьких отклонений и идеального газа можно использовать Gladstone–Dale / идеальный газ: $n-1=K_{GD}\rho =K^{\prime }\frac{p}{T}$. Тогда при известной температуре $T(r)$ $$p(r)=\frac{R_{\mathrm{spec}}T(r)}{K_{GD}}(n(r)-1)\text{или}p(r)=C(T)(n(r)-1).$$
Восстановление при осесимметричности (Abel-инверсия)
- Измерив $\Delta \Phi (b)$ для разных $b$, восстанавливают радиальный профиль $n(r)$ по формуле Abel-инверсии:
$$n(r)-n_0=-\frac{\lambda }{\pi }{\int }_r^{\infty }\frac{d\Delta \Phi (b)/db}{\sqrt{b^2-r^2}}db$$ или эквивалентно
$$n(r)-n_0=-\frac{\lambda }{\pi }\frac{d}{dr}{\int }_r^{\infty }\frac{\Delta \Phi (b)db}{\sqrt{b^2-r^2}}.$$ - Затем по $n(r)$ и известному $T(r)$ получают $p(r)$ через указанную зависимость.
Если нет осесимметрии
- Нужна томография: измерения с разных углов + решение обратной задачи (например алгебраическая реконструкция, нечеткая регуляризация, ART/FDK и т. п.). Связь между фазой и распределением $n(x,y)$ — линейная проекция: $\Delta \Phi (\ell )=\frac{2\pi }{\lambda }{\int }_{\ell }(n-n_0)ds$.
Практические шаги
1. Измерить число сдвинутых полос $\Delta N(b)$, перевести в фазу: $\Delta \Phi =2\pi \Delta N$.
2. Выполнить фазовое unwrapping (устранить модуль $2\pi$).
3. Применить Abel-инверсию (при симметрии) или томографическую реконструкцию.
4. Пересчитать $n(r)$ → $p(r)$ с учётом $T(r)$ и константы $K_{GD}$.
5. Применить регуляризацию (Tikhonov и т.п.) для подавления шума.
Основные источники погрешностей и как их учитывать
- Шум и разрешение фазометрии: ошибка фазы $\delta \Phi$ переводится в ошибку показателя $n$ через инверсию; приближённо чувствительность усилится при интегральной инверсии, особенно к высоким частотам — требуется фильтрация/регуляризация.
- Погрешности фазового unwrapping: ошибочный шаг на $2\pi$ даёт крупную систематическую ошибку в p. Нужно проверять непрерывность и использовать надёжные алгоритмы.
- Некорректная модель n(p,T): Gladstone–Dale — приближение; при больших давлении/композиции газа нужен экспериментальный калибровочный закон $n(p,T,\lambda )$.
- Неоднородность температуры: если $T(r)$ неизвестна, переход $n\to p$ даёт значительную неопределённость; учитывать или измерять $T$ отдельно.
- Аберация лучей (отклонение траекторий): при больших градиентах показателя лучи изгибаются → проекционная модель ломается; нужен расчёт лучей (ray-tracing) или коррекция.
- Оконные/оптические эффекты и выравнивание: отражения, фаски, наклон окон могут ввести систематический сдвиг фазы.
- Дисперсия и нестабильность источника: изменение $\lambda$ приводит к ошибке через множитель $\frac{2\pi }{\lambda }$.
- Дискретизация и конечная апертура: ограниченная числом хорд разрешающая способность и сглаживание при инверсии.
- Неустойчивость обратной задачи: инверсия Абеля чувствительна к шуму, особенно в центре; рекомендуется регуляризация (например, минимизация $\Vert Ax-b{\Vert }^2+\alpha \Vert Lx{\Vert }^2$) и оценка ошибок через синтетические тесты/бутстрэп.
Примеры оценок ошибок (приближённо)
- Относительная ошибка давления при доминировании фазового шума:
$$\frac{\delta p}{p}\sim \frac{\delta \Phi }{\Phi }+\frac{\delta T}{T}+\frac{\delta K}{K},$$ где $\Phi$ — характерная фаза, $\delta K$ — неопределённость константы Gladstone–Dale.
- Шум после инверсии часто возрастает пропорционально интегральному ядру инверсии; численно оценяют через моделирование и аналитически через свёртку с функцией чувствительности.
Рекомендации
- Калибровать зависимость $n(p,T,\lambda )$.
- Измерять/контролировать $T$.
- Использовать надежный unwrapping и регуляризацию.
- При больших градиентах учитывать лучевое отклонение.
- Оценивать погрешности через моделирование и/или бутстрэп.
Если нужно, могу привести формулы для конкретного метода регуляризации или пример численной реализации Abel-инверсии.