Почему в квантовой задаче туннелирования через барьер результирующая вероятность прохождения частицы зависит экспоненциально от ширины и высоты барьера? Дайте качественное объяснение и укажите, где эта зависимость важна в прикладных устройствах
Почему в квантовой задаче туннелирования через барьер результирующая вероятность прохождения частицы зависит экспоненциально от ширины и высоты барьера? Дайте качественное объяснение и укажите, где эта зависимость важна в прикладных устройствах
Похожие вопросы
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
Внутри классически запрещённой области (барьера) волновая функция частицы не осциллирует, а экспоненциально убывает (эвенсцентное поведение). Это потому, что под барьером эффективный импульс становится мнимым: вместо p=2m(E−V)p=\sqrt{2m(E-V)}p=2m(E−V) получаем κ=2m(V−E)/ℏ\kappa=\sqrt{2m(V-E)}/\hbarκ=2m(V−E) /ℏ. Амплитуда волновой функции по направлению через барьер убывает как exp(−κx)\exp(-\kappa x)exp(−κx), поэтому вероятность (квадрат амплитуды) убывает как квадрат этого экспоненциального фактора, т.е. примерно как exp(−2κa)\exp(-2\kappa a)exp(−2κa), где aaa — ширина барьера. Для прямоугольного барьера это даёт приближённо
T∝exp (−2a2m(V0−E)/ℏ). T \propto \exp\!\big(-2a\sqrt{2m(V_0-E)}/\hbar\big).
T∝exp(−2a2m(V0 −E) /ℏ). Физически: чем шире или выше барьер, тем больше «воображаемый путь» с мнимым импульсом, тем сильнее затухает волновая амплитуда — поэтому экспоненциальная зависимость от высоты V0−EV_0-EV0 −E и ширины aaa.
Обобщение (полуклассический WKB):
T≈exp (−2∫x1x2κ(x) dx),κ(x)=2m(V(x)−E)ℏ, T\approx\exp\!\Big(-2\int_{x_1}^{x_2}\kappa(x)\,dx\Big),\qquad
\kappa(x)=\frac{\sqrt{2m(V(x)-E)}}{\hbar},
T≈exp(−2∫x1 x2 κ(x)dx),κ(x)=ℏ2m(V(x)−E) , где x1,2x_{1,2}x1,2 — классические точки поворота. Это подчёркивает, что важен интеграл «мнимого импульса» по ширине барьера.
Где это важно на практике:
- Сканирующий туннельный микроскоп (STM): ток I∝e−2κdI\propto e^{-2\kappa d}I∝e−2κd даёт экстремальную чувствительность к расстоянию ddd.
- Туннельные диоды (Эзаки), TFET (tunnel FET): токы зависят экспоненциально от барьера, что влияет на характеристики переключения.
- Нефункциональная утечка в MOS-кристаллах и туннельный ток через оксид (gate leakage) — важен при масштабировании микроэлектроники.
- Флеш-память: удержание заряда и записи/стирания зависят от туннелирования через тонкие изоляторы.
- Ядерный α-распад: скорость распада описывается фактором Гамова ∼exp(−2∫κ dx)\sim\exp(-2\int\kappa\,dx)∼exp(−2∫κdx).
- Сверхпроводящие переходы через барьеры (Josephson junctions): критический ток чувствителен к толщине барьера.
Вкратце: экспоненциальность возникает из экспоненциального затухания волновой функции в запрещённой зоне (мнимый импульс), и это принципиально влияет на многие приборы, где тонкие барьеры управляют потоками частиц или током.