Кратко: ненормальное (неоднородное) распределение поверхностных зарядов создаёт внеплоскостное электрическое поле $\mathbf{E}$ над пластиной; электронный пучок испытывает поперечную силу $\mathbf{F}=-e\mathbf{E}$ и отклоняется. По измеренной зависимости отклонений можно восстановить плотность поверхностного заряда $\sigma (x,z)$ решением обратной задачи с использованием аналитического ядра для поля над плоскостью.
1) Как изменится траектория
- Закон движения (нерел.): $m\ddot{\mathbf{r}}=-e\mathbf{E}(\mathbf{r},t)$. Для пучка с основной скоростью $v$ вдоль оси $x$ и малых отклонений поперечная (например, по $z$) скорость и угол:
$$v_z=\frac{-e}{mv}{\int }_{x_i}^{x_f}{E}_z(x,z_0,y_0)dx,{\theta }_z\approx \frac{v_z}{v}=\frac{-e}{m{v}^2}{\int }_{x_i}^{x_f}{E}_{z}dx.$$ При коротком взаимодействии часто применяют приближение постоянного поля вдоль участка длины $L$:
$${\theta }_z\approx \frac{-eL}{m{v}^2}{E}_z(y_0,z_0).$$ - Знак отклонения соответствует противоположному заряду: пучок отклоняется к областям с противоположным знаком поверхностного заряда (электроны притягиваются к положительному $\sigma$, отталкиваются от отрицательного).
- Вертикальная (по $y$) компонента поля может изменять энергия/скорость, но для типичных эксприментов с малыми полями энергетические потери малы, основное наблюдаемое — поперечное отклонение/угол и сдвиг на экране.
2) Связь поля над плоскостью и $\sigma$ (удобно в пространстве Фурье)
- Для пластины в плоскости $y=0$ и пространства над ней (вакуум) потенциальное представление даёт в Фурье по координатам в плоскости:
$$\varphi (\mathbf{k},y)=\frac{\sigma (\mathbf{k})}{2{\epsilon }_{0}k}{e}^{-ky},k=|\mathbf{k}|.$$ Тогда нормальная компонента поля
$$E_y(\mathbf{k},y)=-{\partial }_y\varphi =\frac{\sigma (\mathbf{k})}{2{\epsilon }_0}{e}^{-ky},$$ а тангенциальные компоненты
$${\mathbf{E}}_{||}(\mathbf{k},y)=-i\mathbf{k}\frac{\sigma (\mathbf{k})}{2{\epsilon }_{0}k}{e}^{-ky}.$$ - Следовательно измеренное поле на высоте $y=h$ связано с $\sigma (\mathbf{k})$ простым множителем $e^{-kh}$. Обратная формула для восстановления
$$\sigma (\mathbf{k})=2{\epsilon }_0{E}_y(\mathbf{k},h)e^{kh}.$$ (Для случая наличия диэлектрика/толстой плёнки/проводящей подложки ядро меняется — нужно решать краевую задачу с учётом $\epsilon$ и слоёв; в простом случае тонкого диэлектрического покрытия формулы модифицируются константным коэффициентом.)
3) Какие измерения нужны и как восстанавливать $\sigma$ - Измеряемые величины: угол отклонения $\theta$ или сдвиг $\Delta$ пучка на экране как функцию положения пучка над пластиной $(z_0,y_0)$ и энергии (скорости) электронов.
- Сканирование пучка вдоль поперечной координаты $z$ (и по возможности на нескольких высотах $h$) даёт пространственную карту поперечных полей.
- Измерение зависимости отклонения от энергии $E_e$ помогает отделить эффект поля от геометрических/инструментальных артефактов (так как $\theta \propto 1/v^2$).
- Прямая схема восстановления:
1. По измеренным $\theta (z)$ получить приближенную карту поперечного поля $E_{\perp }(z,h)$ через $\theta \approx -(e/(m{v}^2))\int E_{\perp }dx$. При локальном взаимодействии можно принять $\theta \propto E_{\perp }$.
2. Взять двумерное преобразование Фурье по координатам в плоскости поверхности, применить формулу обратной фильтрации $\sigma (\mathbf{k})=2{\epsilon }_0{E}_y(\mathbf{k},h)e^{kh}$.
3. Выполнить обратное преобразование Фурье. Обязательно регуляризовать (Tikhonov или усечение спектра), потому что фактор $e^{kh}$ быстро усиливает шум и ограничивает разрешение: высокие пространственные частоты восстановить невозможно, если $k\gtrsim 1/h$.
- Практические рекомендации:
- Сканировать на минимально малой высоте $h$ (чтобы сохранить высокие частоты) без риска контактного взаимодействия.
- Делать несколько высот $h$ или энергий для устойчивой регуляризации.
- Учитывать влияние диэлектрика и проводящей подложки: при заметной толщине/проницаемости решать точную картину поля (методом Грина или численно) и использовать соответствующее прямое ядро в обратной задаче.
- Контролировать фоновые поля/заземление: изображение зарядов на металле (индуцированные) меняет распределение и должно быть учтено в модели.
Кратко: наблюдаемое отклонение пучка связано с интегралом поперечного электрического поля, поле над плоскостью связано с $\sigma$ через ядро с экспоненциальным подавлением $e^{-kh}$. По измеренной карте углов/сдвигов при сканировании и применении Фурье-методов с регуляризацией восстанавливают $\sigma (x,z)$; разрешение ограничено высотой пучка и шумом.