Ниже — сжатый, но подробный алгоритм и необходимые формулы для анализа передачи импульса и энергии при ударах двух идеально упругих тел с учётом трения и возможного вращения. Работа в двумерной постановке, контактная рамка: нормаль $n$ (перпендикуляр к поверхности соприкосновения), касательная $t$.
Обозначения
$m_1,m_2$ — массы тел;
$I_1,I_2$ — моменты инерции относительно центров;
$r_1,r_2$ — плечи от центров до точки контакта (радиусы для шаров/дисков);
вект. скорости центров до удара ${\mathbf{v}}_1^{-},{\mathbf{v}}_2^{-}$; угл. скорости до удара ${\omega }_1^{-},{\omega }_2^{-}$;
коэффициент трения (импульсной) $\mu$; коэффициент восстановления по нормали $e$ (здесь «идеально упруго» даёт $e=1$);
скалярные компоненты относительной скорости в точке контакта: нормальная $g_n^{-}=({\mathbf{v}}_1^{-}-{\mathbf{v}}_2^{-})\cdot n$, касательная $g_t^{-}=({\mathbf{v}}_1^{-}-{\mathbf{v}}_2^{-})\cdot t+r_1{\omega }_1^{-}+r_2{\omega }_2^{-}$ (знаки по направлению $t$ и вращению согласуйте с выбранной ориентацией).
1) Уравнения импульсов (внутренний импульс между телами имеет нормальную часть $J_n$ и касательную $J_t$):
- Изменение трансляции:
$${\mathbf{v}}_1^{+}={\mathbf{v}}_1^{-}+\frac{J_{n}n+J_{t}t}{m_1},{\mathbf{v}}_2^{+}={\mathbf{v}}_2^{-}-\frac{J_{n}n+J_{t}t}{m_2}.$$ - Изменение вращения (касательная составляющая создаёт момент):
$${\omega }_1^{+}={\omega }_1^{-}+\frac{J_t{r}_1}{I_1},{\omega }_2^{+}={\omega }_2^{-}+\frac{J_t{r}_2}{I_2},$$ (знаки зависят от принятой положительной ориентации угловых скоростей; здесь выбраны согласованно с $g_t$).
2) Нормальная часть импульса (восстановление)
общее изменение нормальной относительной скорости при импульсе $J_n$:
$$g_n^{+}=g_n^{-}+J_n\left(\frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_2}\right).$$ Условие восстановления $g_n^{+}=-e{g}_n^{-}$. Следовательно
$$J_n=-\frac{(1+e)g_n^{-}}{\frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_2}}.$$ Для идеальной упругости $e=1$:
$$J_n=-\frac{2g_n^{-}}{\frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_2}}.$$
3) Касательная часть: критерий «прилипание/скольжение»
вводим касетивный коэффициент эффективной податливости
$$K_t=\frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_2}+\frac{r_1^2}{I_1}+\frac{r_2^2}{I_2}.$$ Если при попытке «прилипнуть» (обнулить касательную относительную скорость) получается импульс
$$J_t^{\ast }=-\frac{g_t^{-}}{K_t}$$ и выполняется Coulomb-ограничение $|J_t^{\ast }|\le \mu |J_n|$, то соприкосновение завершается без относительного скольжения (sticking), и $J_t=J_t^{\ast }$. В этом случае касательная относительная скорость после удара $g_t^{+}=0$.
Если $|J_t^{\ast }|>\mu |J_n|$, то имеет место скольжение (sliding) и касательный импульс принимает предельное значение, направленное против относительного скольжения:
$$J_t=-\mu \mathrm{sign}(g_t^{-})J_n.$$ Тогда касательная относительная скорость после удара
$$g_t^{+}=g_t^{-}+J_t{K}_t\ne 0.$$
4) Обновление скоростей
после вычисления $J_n,J_t$ подставить в уравнения пункта 1 и получить ${\mathbf{v}}_1^{+},{\mathbf{v}}_2^{+},{\omega }_1^{+},{\omega }_2^{+}$.
5) Энергетический баланс
- Нормальная компонента при $e=1$ не даёт потерь в нормальной степени свободы (кинетическая энергия нормальной относительной скорости восстанавливается).
- Прилипание: касательная импульсивная реакция статичного трения не диссипирует энергию (энергия перераспределяется между трансляцией и вращением), поэтому при $e=1$ суммарная кинетическая энергия сохраняется.
- Скользящий случай: часть кинетической энергии рассеивается трением; для подсчёта потерь подставьте конечные скорости в кинетическую энергию:
$$\Delta T=\left(\frac{1}{2}{m}_1|{\mathbf{v}}_1^{+}{|}^2+\frac{1}{2}{I}_1{{\omega }_1^{+}}^2+\frac{1}{2}{m}_2|{\mathbf{v}}_2^{+}{|}^2+\frac{1}{2}{I}_2{{\omega }_2^{+}}^2\right)-\left(\frac{1}{2}{m}_1|{\mathbf{v}}_1^{-}{|}^2+\frac{1}{2}{I}_1{{\omega }_1^{-}}^2+\frac{1}{2}{m}_2|{\mathbf{v}}_2^{-}{|}^2+\frac{1}{2}{I}_2{{\omega }_2^{-}}^2\right).$$ При скольжении $\Delta T<0$; численно можно выразить потерю через $J_t$ и начальные относительные скорости, подставив выражения для обновлённых скоростей.
6) Особые замечания для случая „одно по наклонной, другое по горизонтали”
- Перед ударом найдите векторные ${\mathbf{v}}_1^{-},{\mathbf{v}}_2^{-}$ из их направлений (наклон $\alpha$ для тела на плоскости). Затем найдите проекции на $n,t$ и используйте вышеописанную процедуру.
- Если тела частично связаны внешними опорами (тело на плоскости получает импульс от опоры за время удара), то импульсная балансировка линейного момента в направлении нормали к плоскости нарушается — надо учитывать импульсы опоры; тогда нельзя использовать глобальную сохранность суммарного импульса в этом направлении, но локальная контактная модель (выше) остаётся применимой для определения $J_n,J_t$ между телами, если импульсы опоры моделируются отдельно.
Краткий пошаговый рецепт для расчёта:
1. Вычислить $g_n^{-},g_t^{-}$.
2. Найти $J_n$ по $e$.
3. Вычислить $J_t^{\ast }=-g_t^{-}/K_t$; если $|J_t^{\ast }|\le \mu |J_n|$ взять $J_t=J_t^{\ast }$ (прилипание), иначе $J_t=-\mu \mathrm{sign}(g_t^{-})J_n$ (скольжение).
4. Обновить ${\mathbf{v}}_i^{+},{\omega }_i^{+}$.
5. Оценить изменение кинетической энергии по формулам выше.
Эти уравнения покрывают передачу импульса между прямолинейным движением и вращением, роль трения (ограничение касательного импульса) и определяют, где и когда энергия либо перераспределяется (прилипание), либо теряется (скольжение).