Это параметрический резонанс (математически — уравнение типа Матьёу). Коротко:
- Уравнение малых колебаний с меняющейся длиной $l(t)$:
$$\ddot{\theta }+2\frac{\dot{l}}{l}\dot{\theta }+\frac{g}{l}\theta =0.$$ При $l(t)=l_0(1+ϵ\cos \Omega t)$, $ϵ\ll 1$, и пренебрежении малым членом с $\dot{l}$ получаем уравнение Матьёу
$$\ddot{\theta }+{\omega }_0^2(1-ϵ\cos \Omega t)\theta =0,{\omega }_0^2=\frac{g}{l_0}.$$
- Резонансный механизм: при периодическом изменении параметра (длины) энергия передаётся в колебания, если модуляция происходит с удвоенной частотой колебаний. Главный резонанс при
$$\Omega \approx 2{\omega }_0.$$ Физически: короткая длина в момент прохождения через вертикаль и удлинение на краях даёт положительный приток энергии.
- Параметры, определяющие устойчивость:
- частота модуляции $\Omega$ (резонансные зоны при $\Omega \approx 2{\omega }_0/n$, главный — $n=1$);
- глубина модуляции $ϵ$ (чем больше — шире и сильнее «рога» неустойчивости у диаграммы Матьёу);
- демпфирование/трение (коэффициент вязкого гашения $\gamma$ в уравнении $\ddot{\theta }+2\gamma \dot{\theta }+\cdots =0$) — требует порога модуляции для роста;
- средняя длина $l_0$ (через ${\omega }_0=\sqrt{g/l_0}$) и начальная фаза модуляции.
- Приближённые оценки для главной зоны: амплитуда растёт, если инкремент положителен. Для малых параметров скорость экспоненциального роста около резонанса
$$\sigma \approx \frac{{\omega }_0ϵ}{4}-\gamma ,$$ и порог неустойчивости примерно
$$ϵ>\frac{4\gamma }{{\omega }_0}.$$
Замечание: при больших углах или больших $ϵ$ возникают нелинейные эффекты и сложная структура устойчивости.