Дифракционная картина круглого апертурного отверстия определяется в основном следующими факторами:
- длиной волны $\lambda$ света;
- диаметром апертуры $D$ (или радиусом $a=D/2$);
- расстоянием до экрана/фокальной плоскости (режим Фраунгофера — дальнее поле — даёт простую формулу);
- форме апертуры и наличием центрального экрана/помех (центральное затемнение, аподизация изменяют пики и боковые лепестки);
- степенью когерентности и поляризацией входного поля;
- аберрациями оптической системы и шумами (они накладываются на дифракционный фон).
Для идеальной круглой апертуры в дальнем поле (Фраунгофер) интенсивность образует функцию Эйри:
$$I(\theta )=I_0{\left(\frac{2J_1(ka\sin \theta )}{ka\sin \theta }\right)}^2,$$ где $J_1$ — цилиндрическая функция Бесселя первого порядка, $k=2\pi /\lambda$, $a=D/2$. При малых углах $\sin \theta \approx \theta$ первый ноль (радиус диска Эйри) даёт угловой размер
$${\theta }_1\approx 1.22\frac{\lambda }{D}.$$
Как дифракция ограничивает разрешающую способность:
- Классический критерий Рэлея: две точечные источники считаются разрешёнными, если максимум одного совпадает с первым минимумом другого, что даёт угловое разрешение
$${\theta }_R=1.22\frac{\lambda }{D}.$$ - В системах изображения удобнее пользоваться числовой апертурой $\mathrm{NA}=n\sin \alpha$. Радиус пятна Эйри в фокальной плоскости
$$r=1.22\frac{\lambda f}{D}=0.61\frac{\lambda }{\mathrm{NA}},$$ а аппроксимация пространственного разрешения (интенсивностное, для некогерентного света) часто записывается как
$$\delta \approx 0.61\frac{\lambda }{\mathrm{NA}}.$$ - Дифракция задаёт конечную пропускную способность по пространственным частотам (MTF): оптическая система передаёт только частоты ниже некоторого предела, вследствие чего высокочастотные детали (мелкая структура) теряются.
Практический вывод: чтобы повысить разрешение — уменьшать $\lambda$ или увеличивать $D$ / $\mathrm{NA}$. Однако реальные пределы задаются также аберрациями, технологическими ограничениями и шумом; апертура и аподизация влияют на контраст и боковые лепестки, поэтому улучшение разрешения часто сопровождается компромиссами по яркости и контрасту.