Кратко — через индуцированные вихревые токи. Ниже даю вывод при разумных приближениях (тонкая стенка, поле осевое и почти однородное по радиусу, квазистатическое, толщина стенки $t$ мала по сравнению с глубиной скин-слоя).
Обозначения:
$r$ — радиус цилиндра, $h$ — высота, $t$ — толщина стенки, $\sigma$ — проводимость меди, $v$ — скорость относительно катушки (по оси $z$), $B(z,t)$ — осевая компонента поля в плоскости сечений цилиндра, $\rho =1/\sigma$.
1) Индукция и сопротивление одного «кольца» высоты $dz$:
$$\Phi (z,t)=\pi r^{2}B(z,t),\mathcal{E}(z)=-\frac{d\Phi }{dt}=-\pi r^2({\partial }_{t}B+v{\partial }_{z}B),$$ $$dR=\frac{\rho \cdot 2\pi r}{tdz}.$$
2) Мощность, рассеиваемая вихревыми токами (интегрируя по высоте цилиндра от $z_0$ до $z_0+h$):
$$P={\int }_{z_0}^{z_0+h}\frac{{\mathcal{E}}^2}{dR}=\frac{\pi r^{3}t}{2\rho }{\int }_{z_0}^{z_0+h}({\partial }_{t}B+v{\partial }_{z}B{)}^{2}dz.$$
3) Соотношение сила — мощность (механическая мощность, взятая у движения): $P_{\text{мех}}=Fv$. Из разложения квадрата получаем полезное выражение для силы (направление — против скорости):
$$F=\frac{\pi r^{3}t}{2\rho }\left[2{\int }_{z_0}^{z_0+h}({\partial }_{t}B)({\partial }_{z}B)dz+v{\int }_{z_0}^{z_0+h}({\partial }_{z}B{)}^{2}dz\right].$$ Заменив $\rho =1/\sigma$,
$$\boxed{F=\frac{\pi r^{3}t\sigma }{2}\left[2{\int }_{z_0}^{z_0+h}({\partial }_{t}B)({\partial }_{z}B)dz+v{\int }_{z_0}^{z_0+h}({\partial }_{z}B{)}^{2}dz\right],}$$ и знак силы такой, что она противоположна вектору скорости $v$.
4) Два частных предела (упрощённо полезны для практики):
- Катушка стационарна (${\partial }_{t}B=0$), только движение даёт торможение:
$$\boxed{F=\frac{\pi r^{3}t\sigma }{2}v{\int }_{z_0}^{z_0+h}({\partial }_{z}B{)}^{2}dz.}$$ (в этом случае $F\propto v$ при малых скоростях).
- Поле меняется во времени, а скорость мала (линейный по $v$ вклад доминирует):
$$\boxed{F\approx \pi r^{3}t\sigma {\int }_{z_0}^{z_0+h}({\partial }_{t}B)({\partial }_{z}B)dz.}$$ (знак такой, что сила тормозит движение; чисто $({\partial }_{t}B{)}^2$-термин не связан с потерей кинетической энергии — это электрическая рассеиваемая мощность, поставляемая катушкой).
5) Подстановка поля катушки. Для длинной соленоидальной частицы $B\approx {\mu }_{0}nI(t)$, тогда ${\partial }_{t}B={\mu }_{0}n\dot{I}$, ${\partial }_{z}B$ берётся из геометрии концов катушки; подставляя их в формулы получаете связь силы с параметрами катушки (число витков на единицу длины $n$) и $\dot{I}$.
6) Ограничения применимости:
- тонкая стенка (ток концентрируется по окружности); если $t$ сравнимо с глубиной скина, требуется решение с учётом распределения по толщине;
- поле примерно однородно по радиусу сечения; при сложном распределении по радиусу нужно учитывать полевую зависимость;
- квази-статический режим (низкие частоты), без учёта индуктивности кольца и сильных эффектов скина.
Если нужно, могу подставить для конкретной геометрии катушки (соленоид с конечной длиной, или другой профиль $B(z)$) и вывести более явную числовую формулу.