Энергия нулевых колебаний одномерного квантового гармонического осциллятора равна
$$E_0=\frac{1}{2}\hslash \omega ,$$ поскольку уровни энергии имеют вид $E_n=\hslash \omega (n+\frac{1}{2})$. Это вытекает из квантования и принципа неопределённости: даже в основном состоянии колебательный вклад кинетической и потенциальной энергии ненулевой. Для среднего квадрата смещения $x$ в основном состоянии
$$⟨x^2⟩=\frac{\hslash }{2m\omega }.$$
В твёрдом теле каждое нормальное колебание (фоновой моды, фонона) даёт свой нулевой вклад $\frac{1}{2}\hslash {\omega }_s(\mathbf{k})$, поэтому суммарная нулевая энергия фононов
$$E_{\mathrm{ZP}}=\sum _{s,\mathbf{k}}\frac{1}{2}\hslash {\omega }_s(\mathbf{k})$$ (в непрерывном пределе — соответствующий интеграл). Физические последствия в реальных системах:
- остаточное (при $T=0$) движение атомов — конечные среднеквадратичные смещения и вклад в дебаевский фактор (влияние на рассеяние рентгенов/нейтронов);
- вклад в внутреннюю энергию и свободную энергию кристалла, влияющий на равновесные параметры (например нулевое расширение/сжатие решётки, сдвиги фазовых переходов);
- изотопные эффекты: изменение масс меняет $\omega$ и поэтому нулевую энергию, что даёт измеримые изменения размеров связей и термодинамических свойств;
- вклад в энергию связей и стабильность фаз (в некоторых материалах значим по сравнению с энергиями связи).
Порядок величины для оптических/акустических фононов: $\frac{1}{2}\hslash \omega$ обычно несколько меВ — сотни меВ (в типичных кристаллах десятки мэВ), так что эффект заметен для тонких смен энергий и структурных параметров.