Классический вывод (волновая картина)
- Поляризатор пропускает компоненту электрического поля вдоль своей оси. Если амплитуда входной волны $E_0$ и угол между её плоскостью поляризации и осью анализатора равен $\theta$, то проходящая амплитуда равна $E_0\cos \theta$. Интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды, поэтому
$$I=I_0{\cos }^2\theta ,$$ что и есть закон Малюса.
Квантовое объяснение (фотонная картина)
- Поляризация фотона описывается в двухуровневом гильбертовом пространстве как вектор состояния $|\psi ⟩$. Идеальный поляризатор, настроенный на направление $|\varphi ⟩$, реализует проекцию на это состояние. По правилу Борна вероятность пропуска одного фотона равна квадрату модуля проекции:
$$p=|⟨\varphi |\psi ⟩{|}^2.$$ Если $|\psi ⟩$ и $|\varphi ⟩$ образуют угол $\theta$, то $|⟨\varphi |\psi ⟩|=\cos \theta$ и снова получаем
$$p={\cos }^2\theta .$$ Для квазиклассического пучка средняя интенсивность пропорциональна ожидаемому значению числа фотонов, поэтому закон Малюса возникает как среднее значение квантовой вероятности.
Обобщения и ограничения (реальность и квантовые уточнения)
- Неполные/неидеальные поляризаторы: если коэффициенты пропускания вдоль и поперёк оси равны $T_{\parallel }$ и $T_{\perp }$, то
$$I=I_0(T_{\parallel }{\cos }^2\theta +T_{\perp }{\sin }^2\theta ),$$ а для частично поляризованного света с степенью поляризации $P$ и полной интенсивностью $I_{\mathrm{tot}}$:
$$I=I_{\mathrm{tot}}(\frac{1-P}{2}+P{\cos }^2\theta ).$$ - Состояния-смешения: общая формула через матрицу плотности $\rho$ и проектор поляризатора $P=|\varphi ⟩⟨\varphi |$:
$$I\propto \mathrm{Tr}(\rho P).$$ - Общая квантовая теория измерений: поляризатор может быть описан не только проектором, а общими операторами положительных операторов (POVM), что даёт другие зависимостей при поглощении/рассеянии/неидеальностях.
- Однофотонные эксперименты: Малюс даёт вероятность для каждого фотона; при малых числах фотонов наблюдаются статистические флуктуации (счетчики), но в среднем закон выполняется.
- Квантовая нелокальность и запутанность: для запутанных пар поляризации локальное распределение по одному фотону всё ещё подчиняется Малюсу, но корреляции между двумя фотонами могут резко отличаться от классической интуиции (вплоть до нарушений неравенств Белла).
- Частотная зависимость и дисперсия: поведение материалов зависит от длины волны, поэтому реальные поляризаторы и волновые пластины дают дополнительные поправки.
Кратко: закон Малюса вытекает классически из проекции вектора поля и квантово — из правил Борна и проекторного измерения. Квантовая теория расширяет картину: даёт статистическую интерпретацию для отдельных фотонов, позволяет описать смешанные состояния, общие измерения (POVM) и проявляет особенности при запутанности; в практических условиях закон дополняют поправки из-за неидеальности поляризаторов, частичной поляризации и дисперсии.