Кратко и по существу — формулировки и ключевые тонкости.
1) Неподвижный замкнутый контур (обычная форма закона Фарадея):
$${\oint }_C\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}=-\frac{d}{dt}{\int }_S\mathbf{B}\cdot d\mathbf{S},$$ где $C=\partial S$ — фиксированное в пространстве замкнутое ребро, $\mathbf{E},\mathbf{B}$ — поля в лабораторной системе. Дифференциальная форма:
$$\nabla \times \mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}.$$
2) Движущийся (механически) замкнутый контур (учёт мотиональной ЭДС). Если контур $C(t)$ движется с местной скоростью $\mathbf{v}(\mathbf{r},t)$ (т.е. контур материален, связан с проводником), то работа на единицу заряда равна интегралу силы Лоренца, поэтому общая ЭДС
$$\mathcal{E}={\oint }_{C(t)}(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times \mathbf{B})\cdot d\mathbf{l}.$$ При этом действует общее соотношение (полная производная потока по движущейся поверхности $S(t)$, $\partial S=C(t)$):
$${\oint }_{C(t)}(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times \mathbf{B})\cdot d\mathbf{l}=-\frac{d}{dt}{\int }_{S(t)}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{S}.$$ Удобно также пользоваться вспомогательной тождественностью (транспортной формулой):
$$\frac{d}{dt}{\int }_{S(t)}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{S}={\int }_{S(t)}\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\cdot d\mathbf{S}+{\oint }_{C(t)}(\mathbf{B}\times \mathbf{v})\cdot d\mathbf{l},$$ откуда при подстановке получается указанный общий вид закона.
3) Основные тонкости при выборе контура в движущихся проводниках:
- Контур должен быть материальным (следовать за проводником), если вы хотите интерпретировать $\oint$ как ЭДС, действующую на носители заряда. Для произвольной математической кривой нужно явно задавать скорость движения этой кривой $\mathbf{v}$.
- В интеграле используется локальная скорость элементов контура $\mathbf{v}(\mathbf{r},t)$ — скорость подвижного проводника (или зарядов). Мотиональная ЭДС локализуется в тех участках, где есть движение через магнитное поле.
- При наличии скользящих контактов/разрывов топология контура меняется — нужно включать вклад от контактных зон (в этих местах могут возникать локальные ЭДС).
- Правило потока ($\mathcal{E}=-d\Phi /dt$) верно только при корректном учёте полной производной потока через движущуюся поверхность; под частичной производной $\partial \mathbf{B}/\partial t$ формула для неподвижного $C$ и для интеграла поля связана через транспортную формулу.
- Физическая причина мотиональной ЭДС — сила Лоренца; при переходе в систему, где проводник в покое, поле там будет ${\mathbf{E}}^{\prime }=\mathbf{E}+\mathbf{v}\times \mathbf{B}$ (в нерелятивистском приближении), поэтому важно согласованно выбирать систему отсчёта.
- Потоковая формулировка — следствие уравнений Максвелла + силы Лоренца, а не отдельный «закон», поэтому при анализе всегда полезно отслеживать, какие именно величины (поверхность, контур, скорость) являются фиксированными или меняются.
Этого обычно достаточно для корректного применения закона Фарадея как для неподвижных, так и для движущихся контуров.