Почему в квантовой механике появляется спин как внутренняя степень свободы, как экспериментально измерить его свойства и как измерения спина в составе многочастичных систем приводят к запутанности
Почему в квантовой механике появляется спин как внутренняя степень свободы, как экспериментально измерить его свойства и как измерения спина в составе многочастичных систем приводят к запутанности
Похожие вопросы
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
Почему спин появляется
- Спин — внутренняя (невнешняя) степень свободы, потому что квантовые частицы несут собственный момент импульса, который не сводится к движению в пространстве. Формально он возникает как линейные неприводимые представления поворотной группы: для нерелятивистской квантмех. это двузначная группа SU(2) \mathrm{SU}(2) SU(2) (двухпокрытие SO(3) \mathrm{SO}(3) SO(3)). Получиются целые и полуцелые представления с параметром sss (спин): члены представления имеют собственные значения оператора полного момента
S2:S2∣ψ⟩=ℏ2s(s+1)∣ψ⟩, S^2:\quad S^2|\psi\rangle=\hbar^2 s(s+1)|\psi\rangle,
S2:S2∣ψ⟩=ℏ2s(s+1)∣ψ⟩, и проекции
Sz∣ψ⟩=ℏm∣ψ⟩,m=−s,−s+1,…,s. S_z|\psi\rangle=\hbar m|\psi\rangle,\qquad m=-s,-s+1,\dots,s.
Sz ∣ψ⟩=ℏm∣ψ⟩,m=−s,−s+1,…,s. - В релятивистской теории спин вытекает из симметрии Лоренца и уравнения Дирака: фермионы с спином 1/21/21/2 — это двудольные (spinor) представления Лоренцевой группы. Это объясняет полуцелые значения спина (двойственность поворота на 2π2\pi2π).
- Коммутатор генераторов спина:
[Si,Sj]=iℏ ϵijkSk, [S_i,S_j]=i\hbar\,\epsilon_{ijk}S_k,
[Si ,Sj ]=iℏϵijk Sk , для спина 1/21/21/2 можно положить Si=ℏ2σiS_i=\frac{\hbar}{2}\sigma_iSi =2ℏ σi (матрицы Паули σi\sigma_iσi ).
Как экспериментально измерить свойства спина
- Прямой метод: опыты Штерна—Герлаха — пучок частиц проходит через неоднородное магнитное поле и расщепляется на дискретные линии, соответствующие проекциям спина; это демонстрирует квантование проекции.
- Резонансные методы: NMR/ESR — измеряют переходы между уровнями спинового подуровня в магнитном поле, дают величину гиромагнитного отношения и релаксационные времена.
- Современные одиночные спины: чтение спина в ловушках и квантовых точках через оптическое люминесценцию, туннельный ток, либо через квантовые точки/SQUID в сверхпроводящих кубитах; эти методы обеспечивают проектное измерение отдельных квбит-спинов.
- Теоретическая модель измерения: проекторы на исходы вдоль оси n^\hat nn^ P±n^=12(I±n^⋅σ), P_{\pm\hat n}=\frac{1}{2}\bigl(I\pm\hat n\cdot\sigma\bigr),
P±n^ =21 (I±n^⋅σ), вероятность результата +++ для состояния ∣ψ⟩|\psi\rangle∣ψ⟩ даётся правилом Борна
p+=⟨ψ∣P+n^∣ψ⟩. p_+=\langle\psi|P_{+\hat n}|\psi\rangle.
p+ =⟨ψ∣P+n^ ∣ψ⟩.
Как измерения спина в многочастичных системах приводят к запутанности
- Пространство состояний для двух частиц — тензорное произведение: H=H1⊗H2\mathcal H=\mathcal H_1\otimes\mathcal H_2H=H1 ⊗H2 . Даже если индивидуальные спины описываются двумяуровневыми системами, совместные состояния могут быть неразложимыми (запутанными).
- Пример: для двух спин‑1/2 базис тотального момента даёт триплет (s=1) и синглет (s=0). Синглет
∣ψ−⟩=12(∣↑↓⟩−∣↓↑⟩) |\psi^-\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\bigl(|\uparrow\downarrow\rangle-|\downarrow\uparrow\rangle\bigr)
∣ψ−⟩=2 1 (∣↑↓⟩−∣↓↑⟩) — чисто запутанное состояние. Его свойства: измерение проекции любого из спинов вдоль произвольной оси n^\hat nn^ даёт полностью антикоррелированные результаты. Формально
(n^⋅σ)⊗I ∣ψ−⟩=−I⊗(n^⋅σ) ∣ψ−⟩, (\hat n\cdot\sigma)\otimes I\,|\psi^-\rangle=-I\otimes(\hat n\cdot\sigma)\,|\psi^-\rangle,
(n^⋅σ)⊗I∣ψ−⟩=−I⊗(n^⋅σ)∣ψ−⟩, откуда следует: если измерили на первом частице +++ вдоль n^\hat nn^, то на второй с вероятностью 111 будет −-− вдоль той же оси.
- Замечание о происхождении запутанности при измерениях: если система уже запутана, локальное измерение части приводит к коллапсу состояния и мгновенной корреляции результатов для удалённой части (без передачи сигнала). Если система изначально разложима (без запутанности), то простое локальное измерение не создаст между разными удалёнными подсистемами немедленной запутанности без взаимодействия или совместного (проективного) измерения/постселекции. Однако взаимодействия обмена спина или антисимметризация при учёте идентичных фермионов часто порождают запутанные состояния естественным образом.
- Экспериментально проверяют запутанность через корреляции и тесты неравенств Белла; в случае синглета измерения вдоль независимых осей дают статистику, нарушающую классические неравенства.
Короткое резюме
- Спин — внутренняя степень свободы, следствие представлений вращений/Лоренца; описывается операторами SiS_iSi с дискретными собственными значениями ℏm\hbar mℏm.
- Измеряют спин через Штерна–Герлах, NMR/ESR, одиночные квантовые устройства; результат даётся проектором и правилом Борна.
- В многочастичных системах спиновые состояния складываются в тензорное пространство; взаимодействия, симметрии обмена или совместные измерения создают запутанность; пример — синглет с полной антикорреляцией результатов измерений.