Коротко об сути: принцип неопределённости Гейзенберга утверждает, что нельзя одновременно точно знать положение и импульс частицы. В математической форме:
$$\Delta x\Delta p\ge \frac{\hslash }{2}.$$
Как это ограничивает измерения электрона в атоме
- Если вы локализуете электрон в пространстве с точностью $\Delta x$, то неопределённость импульса не может быть меньше $\Delta p\gtrsim \hslash /(2\Delta x)$. Это даёт ненулевую «кинетическую» энергию порядка
$$E_{\text{kin}}\sim \frac{(\Delta p{)}^2}{2m}\sim \frac{{\hslash }^2}{8m(\Delta x{)}^2}.$$ - В атоме потенциальная энергия электрона в поле ядра примерно $-e^2/(4\pi {\epsilon }_0\Delta x)$. Суммарная энергия примерно
$$E(\Delta x)\sim \frac{{\hslash }^2}{8m(\Delta x{)}^2}-\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_0\Delta x}.$$ Минимизация по $\Delta x$ даёт характерный радиус электронного облака (приблизительно Бо́ровский радиус)
$$a_0=\frac{4\pi {\epsilon }_0{\hslash }^2}{m{e}^2}\approx 0.53\text{A˚},$$ и энергию основного состояния порядка того, что наблюдается в атомах (например, ~$-13.6$ эВ для водорода). Таким образом неопределённость обеспечивает конечный размер и энергию электронных орбиталей — электроны не «сидят» в единственной точке и не имеют классической траектории.
Практические последствия для атомных и нано устройств
- Ограничение локализации: невозможно локализовать электрон внутри устройства с произвольно малым разбросом импульса; это влияет на минимальные размеры квантовых точек и стабильность уровней энергии.
- Нулевая (застывшая) энергия и флуктуации: из-за неопределённости в атомных потенциалах всегда есть нулевой вклад кинетической энергии, что определяет свойства основного состояния и шум при охлаждении к низким температурам.
- Туннелирование и утечки: наличие ненулевой волновой функции и разброса импульса обеспечивает вероятность туннелирования через барьеры — это используется в STM, туннельных диодах, но также ограничивает миниатуризацию транзисторов (утечки через тонкие диэлектрики).
- Ограничение точности измерений и обратное действие: попытка точного измерения положения увеличивает неопределённость импульса (и энергии), что может разрушать квантовое состояние — важный фактор при считывании квбитов и в метрологии.
- Ограничение спектральной точности: соотношение энергии и времени $\Delta E\Delta t\ge \hslash /2$ задаёт минимальную ширину линии и влияет на точность атомных часов и спектроскопии.
Итого: принцип неопределённости — фундаментальное ограничение, которое определяет размеры и энергии электронных состояний в атомах и задаёт пределы точности, стабильности и масштабирования атомных/наноустройств (квантовые точки, квбиты, туннельные приборы, миниатюрные транзисторы и высокоточная спектроскопия).