Коротко — потому что в идеале (вакуум, только сила тяжести) на мяч действует единственная постоянная сила $mg$, значит движение вдоль вертикали — равномерно-замедленное с ускорением $-g$. Отсюда легко выводятся формулы:
- скорость: $v(t)=v_0-gt$;
- время подъёма до остановки: $t_{\text{up}}=\frac{v_0}{g}$ (при стартовой скорости вверх $v_0$);
- высота подъёма (от уровня броска): $H=\frac{v_0^2}{2g}$;
- полное время полёта при возврате на тот же уровень: $T=\frac{2v_0}{g}$.
Масса не входит в эти формулы, потому что законы механики дают одинаковое ускорение всем телам при одинаковом $g$, если других сил нет.
Как учесть сопротивление воздуха в реальности
1) Модели сопротивления:
- линейная (малые скорости / вязкая среда): $F_d=-bv$;
- квадратичная (типично для шаров в воздухе): $F_d=-\frac{1}{2}{C}_d\rho Av|v|$,
где $b$ — коэффициент вязкого трения, $C_d$ — коэффициент лобового сопротивления, $\rho$ — плотность воздуха, $A$ — поперечная площадь.
2) Уравнения движения:
- при линейном сопротивлении: $m\frac{dv}{dt}=-mg-bv$.
Решение (вверх положительно): $v(t)=(v_0+v_t)e^{-(b/m)t}-v_t,v_t=\frac{mg}{b}$.
Путь: $y(t)=y_0+(v_0+v_t)\frac{m}{b}(1-e^{-(b/m)t})-v_{t}t$.
Максимальная высота находится из условия $v(t)=0$ (решить для $t$, подставить в $y(t)$).
- при квадратичном сопротивлении: $m\frac{dv}{dt}=-mg-\frac{1}{2}{C}_d\rho Av|v|$.
Тут простого аналитического выражения для $y(t)$ обычно нет; характерная величина — терминальная скорость при падении: $v_t=\sqrt{\frac{2mg}{C_d\rho A}}$. Для подъёма/спуска решения получают численно.
3) Практические шаги:
- выбрать модель (квадратичная — обычно для мячей в воздухе);
- оценить $m,C_d,A,\rho$ (или взять табличные $C_d$);
- решить ОДУ численно (например, методом Эйлера/Рунге–Кутты) для $v(t),y(t)$ или найти время $t$ при $v(t)=0$ для максимальной высоты;
- при малом сопротивлении можно использовать приближение через баланс энергии: $mgH\approx \frac{1}{2}m{v}_0^2-$ работа силы сопротивления (оценить численно).
Итог: в вакууме высота и время зависят только от $v_0$ и $g$. В реальной атмосфере добавляется зависимость от массы, формы и площади мяча и от модели сопротивления — учитывают через соответствующие силы в уравнении движения и решают аналитически (линейный случай) или численно (квадратичный случай).