Коротко — что происходит и как это описать.
1) Качество изменения распределения напряжений и деформаций
- При несимметричной (эксцентричной, смещённой относительно центра сечения или приложенной не в главных осях) поперечной/косой нагрузке у балки возникают одновременно:
- изгиб с кривизнами в двух перпендикулярных направлениях (вручную: изгиб вокруг осей y и z);
- сдвиговые напряжения от поперечных сил;
- при приложении вне центра сечения — кручение (момент, пытающийся повернуть сечение) и возможный изгиб–кручение (coupling) для несимметричных сечений;
- нейтральная линия (плоскость, где нормальная деформация = 0) смещается и поворачивается относительно центроида; распределение нормальных напряжений уже не просто линейно по одной координате, а комбинация по двум координатам.
2) Основные математические соотношения (компактно)
- Нормальная деформация вдоль оси балки в общем случае (координаты в сечении $y,z$):
$${\epsilon }_x(y,z)=-{\kappa }_{y}z-{\kappa }_{z}y$$ где вектор кривизн $\mathbf{\kappa }=({\kappa }_y,{\kappa }_z{)}^T$ определяется моментами и инерционными характеристиками сечения:
$$\mathbf{\kappa }=I^{-1}\mathbf{M},I=\left(\begin{array}{cc}{I}_{yy}& I_{yz}\\ I_{yz}& I_{zz}\end{array}\right),\mathbf{M}=\left(\begin{array}{c}-M_y\\ -M_z\end{array}\right).$$ - Нормальное напряжение (линейная теория упругости, суперпозиция):
$${\sigma }_x(y,z)=E{\epsilon }_x(y,z)=-E({\kappa }_{y}z+{\kappa }_{z}y).$$ - Поперечные (сдвиговые) напряжения по классической формуле Жуковского/для прямоугольных участков:
$$\tau =\frac{VQ}{Ib},$$ где $V$ — поперечная сила, $Q$ — первый момент площади части сечения, $b$ — ширина сечения в рассматриваемой полосе.
- Кручение (Святен-Ван1):
$${\theta }^{\prime }=\frac{T}{GJ}\text{(для замкнутых/простейших сечений)},$$ для открытых тонкостенных сечений — требуется учёт бокового изгиба/варпинга (Власов).
3) Приближённые модели для школьного уровня
- Простая модель изгиба (Эйлер—Бернулли), применима если длина >> сечение и деформации малы:
- если нагрузка симметрична — ${\sigma }_x=-\frac{M}{I}y$ (линейно по одной координате);
- если нагрузка эксцентрична, разложите её на осевые и изгибные составляющие (сдвиг, изгиб вокруг ближайшей главной оси);
- используйте простые формулы для максимального напряжения, прогиба по формуле $\delta =\frac{F{L}^3}{3EI}$ (для консоли) и т.п.
- Игнорировать кручение и варпинг, считать нейтральную ось через центроид (если сечение геометрически простое и нагрузка близка к центру).
4) Приближённые модели и методы для инженерных расчётов
- Для длинных тонких балок с важным учётом поперечных сдвигов — использовать теория Тимошенко (учёт поперечных сдвигов и ротации сечения).
- Для несимметричных сечений и комбинированного изгиба/кручения:
- работать в главных осях инерции (найти угол поворота, при котором $I_{yz}=0$); если моменты приложены не вдоль главных осей, учитывать совместное действие моментов $M_y,M_z$ через матрицу $I^{-1}$.
- если кручение существенно: использовать формулы Святена–Ван или Власова (варпинг) в зависимости от типа сечения (замкнутые/открытые тонкостенные).
- Для точных инженерных расчётов и сложных нагрузок/сечений — метод конечных элементов (FEA), дающий распределение напряжений, деформаций и учёт нелинейности/варпинга.
- Проверять прочность по комбинации напряжений (например, эквивалентное напряжение по Мизесу) и устойчивость (изгибовая/крутильная флуктуация).
5) Практический алгоритм выбора модели
- Если отношение длины/характерного размера сечения > ~10–20 и сдвиг мала — Эйлер–Бернулли.
- Если короткая/плотная или значимы поперечные деформации — Тимошенко.
- Если сечение тонкостенное и нагрузка вызывает кручение — применять теорию торсионного сопротивления (Святен-Ван/Власов) или FEA.
- Для школьных задач: разложите нагрузку на простые компоненты (осевая, изгиб, сдвиг), используйте линейные формулы и проверяйте знаки/положение нейтральной оси.
Это сжатая, но достаточная картина изменения распределения напряжений/деформаций и набор приближённых моделей для разных уровней.