Коротко — закон сохранения импульса даёт значение и направление суммарного ударного импульса, а закон сохранения момента импульса (относительно центра масс или выбранной точки) даёт момент этого импульса — вместе они позволяют восстановить величину импульса, точку (линию) приложения и распределение сил по деформационным элементам при ударе. Ниже — формулы и пошагово, как это используется на практике.
Основные уравнения (для двух автомобилей, индекс 1 и 2):
- сохранение линейного импульса
$$m_1{v}_{1i}+m_2{v}_{2i}=m_1{v}_{1f}+m_2{v}_{2f},$$ или в виде импульса автомобиля 1
$$J=m_1(v_{1f}-v_{1i})=-m_2(v_{2f}-v_{2i}).$$ - связь импульса и вращения (для каждого тела при приложении импульса $J$ в точке с вектором положения $r$ относительно центра масс)
$$I_i({\omega }_{if}-{\omega }_{ii})=r_i\times J.$$ - сохранение момента импульса системы относительно той же точки (если внешние моменты малы)
$$\sum r_i\times m_i{v}_{ii}=\sum r_i\times m_i{v}_{if}.$$
Практическая процедура восстановления
1. Измерить/оценить массы $m_i$, моменты инерции $I_i$, начальные и конечные трансляционные скорости $v_{ii},v_{if}$ и угловые скорости ${\omega }_{ii},{\omega }_{if}$.
2. По изменению линейного импульса найти импульс $J$:
$$J=m_1(v_{1f}-v_{1i}).$$ 3. По изменению момента импульса для одного автомобиля найти плечо (поперечную составляющую вектора положения точки приложения):
для планарного удара, если $\Delta L$ — изменение момента относительно центра масс в направлении, перпендикулярном плоскости движения,
$$r_{\perp }=\frac{\Delta L}{|J|},\Delta L=I_1({\omega }_{1f}-{\omega }_{1i}).$$ Это даёт расстояние от центра масс до линии действия результирующего импульса (т.е. примерную точку приложения).
4. Если известен вектор $J$ и его линия действия, можно сопоставить их с наблюдаемой картиной деформаций (места вмятин, их глубина и профиль) — линия действия должна проходить через центр «результирующего» участка деформации.
5. Для распределения сил по элементам деформации используют модель жесткости/краша: местная сила связана с локальной деформацией $\delta (s)$ через жёсткость $k(s)$:
$$F(s,t)\approx k(s)\delta (s,t).$$ Суммарный импульс равен временной интеграции:
$$J=\int F(t)dt=\int \int f(s,t)dsdt.$$ При известной профилировке жёсткостей $k(s)$ и измеренных суммарных деформациях можно аппроксимировать распределение сил по поверхности удара.
6. Энергетическая проверка: поглощённая деформацией энергия составляет
$$\Delta E_{\mathrm{abs}}=\sum _i(\frac{1}{2}{m}_i(v_{i,i}^2-v_{i,f}^2)+\frac{1}{2}{I}_i({\omega }_{i,i}^2-{\omega }_{i,f}^2)),$$ и должна соответствовать сумме работ локальных сил деформации (с учётом тепла, звука, разлёта частей).
Ограничения и важные примечания
- Законы применимы, если внешние импульсы и моменты (трение о дорогу, опоры) малы в период удара или могут быть оценены. Иначе требуется учёт внешних импульсов.
- Отдельный импульс может распределяться по нескольким контактным зонам; однозначное восстановление точек приложения требует дополнительных данных (фотографии вмятин, следы, деформационный профиль).
- Коэффициент восстановления (ударности) и нелинейность жёсткости усложняют прямую реконструкцию; обычно используют численные/обратные модели (MSC, DYNA, специализированные краш‑модели) с подстройкой параметров по измеренным скоростям и деформациям.
Итого: вычислив $J$ из изменения линейного импульса и плечо действия из изменения момента импульса, получают величину и линию действия суммарного ударного импульса; сопоставление этого с геометрией и параметрами краш‑зон позволяет восстановить распределение сил по деформационным элементам и последовательность контактов (первичный контакт, сдвиги, повороты).